Minimalpolynom berechnen
Neue Frage »

02.09.2013, 13:11 klapka17 Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom berechnen
Hallo zusammen,

ich habe eine Klausuraufgabe und möchte kurz wissen, ob ich die Lösung verstehe. Um es kurz zu halten, beschreibe ich die Aufgabe allgemein:

A sei eine 3x3 Matrix. Nun soll man das Minimalpolynom bestimmen. Hierfür berechnet man das charakteristische Polynom. Jeztzt wird begründet: Da das Minimalpolynom qA(x) ein Teiler von pA(x) ist hat es höchstens Grad 3. Da die Matrizen E, A, A^2 linear unabhängig sind hat das Minimalpolynom mindestens Grad 3, also qA(x)=pA(x).

Also wenn ich das richtig verstanden habe, kann man das so begründen, weil:
wenn man das charakteristische bzw. Minimalpolynom ausmultipliziert dann steht da:
a*A^3+b*A^2+c*A + d*E welches ja gleich 0 sein muss. Wenn das Minimalpolynom Grad 2 oder kleiner hätte, dann könnte da niemals 0 rauskommen, weil die oben genannten Matrizen linear unabhängig sind. Stimmts?

Falls ich es verstanden habe hier direkt die nächste Frage: ist es (zeitlich gesehen) besser zuerst die Matrizen, wie oben, auf linearunabhängigkeit zu überprüfen oder doch eher Jordannormalform berechnen und das damit begründen?
02.09.2013, 14:23 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimalpolynom berechnen
Zitat:
Original von klapka17
Also wenn ich das richtig verstanden habe, kann man das so begründen, weil:
wenn man das charakteristische bzw. Minimalpolynom ausmultipliziert dann steht da:
a*A^3+b*A^2+c*A + d*E welches ja gleich 0 sein muss. Wenn das Minimalpolynom Grad 2 oder kleiner hätte, dann könnte da niemals 0 rauskommen, weil die oben genannten Matrizen linear unabhängig sind. Stimmts?
Richtig. Wie du vorgehst hängt von den Matrizen ab, und auch davon, wie du rechnest. Bei 3x3 Matrizen geht das mit der Unabhängigkeit noch, bei größeren Matrizen wird das schon schwieriger.

Diese Abschätzung funktioniert natürlich nur dann, wenn das Minimalpolynom wirklich vollen Grad hat.
02.09.2013, 15:05 klapka17 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimalpolynom berechnen
[/quote]Richtig. Wie du vorgehst hängt von den Matrizen ab, und auch davon, wie du rechnest. Bei 3x3 Matrizen geht das mit der Unabhängigkeit noch, bei größeren Matrizen wird das schon schwieriger.

Diese Abschätzung funktioniert natürlich nur dann, wenn das Minimalpolynom wirklich vollen Grad hat.[/quote]

perfekt danke!

was heißt bzw. was meinst Du mit "vollen Grad" hat?
02.09.2013, 15:50 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimalpolynom berechnen
Zitat:
Original von klapka17
was heißt bzw. was meinst Du mit "vollen Grad" hat?
gemeint war, dass der Grad des Minimalpolynoms auch wirklich der Dimension der Matrix entspricht, und nicht kleiner ist.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »


MatheBoard » Hochschulmathematik » Algebra » Minimalpolynom berechnen