Abbildungsvorschrift einer linearen Abbildung

02.09.2013, 16:13

küb

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Abbildungsvorschrift einer linearen Abbildung

Meine Frage:
Hey Leute,

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gegeben seien folgende Matrizen aus dem Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{3,3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P = \begin{pmatrix} -1 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} Q = I_3 - P \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie die Abbildungsvorschrift der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} P \circ Q : \mathbb C^3 \to \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$

Ich habe erstmal Q berechnet:

$\begin{eqnarray*} Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie sieht denn das $\begin{eqnarray*} P \circ Q \end{eqnarray*}$ aus?

$\begin{eqnarray*} P \circ Q = P * Q \end{eqnarray*}$ ?
Oder doch: $\begin{eqnarray*} P \circ Q = P * Q * x \end{eqnarray*}$ ?

Ich weiß nicht genau, was in meiner Abbildungsvorschrift das "x" und "y" sein soll..

Meine Ideen:

02.09.2013, 17:58

Elvis

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Du bist nahe dran, nur in $\begin{eqnarray*} I_3 \end{eqnarray*}$ hast du eine 1 rechts oben zu viel. Der Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen entspricht die Matrizenmultiplikation.

Eine Matrix zu einer linearen Abbildung ist immer eine Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung bezüglich gegebener Basen. Wenn nichts weiter über die Basen gesagt ist, musst du dir auch keine Gedanken dazu machen. $\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, y=(PQ)x=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.09.2013, 18:03

küb

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Die 1 ist nur ein Tippfehler, aber danke für den Hinweis smile

smile

Zitat:

Der Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen entspricht die Matrizenmultiplikation.

Also ist $\begin{eqnarray*} P \circ Q =\begin{pmatrix} -1 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 2 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

02.09.2013, 18:05

Elvis

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Ja, nun ist mir alles klar. Dir auch ?

02.09.2013, 18:08

küb

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Ähm, noch nicht wirklich ^^'

Mein x ist jetzt

$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, \end{eqnarray*}$
und mein y $\begin{eqnarray*} y=(PQ)x=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

02.09.2013, 18:10

Elvis

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ja.

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02.09.2013, 18:17

küb

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Also meine Abbildungsvorschrift:

$\begin{eqnarray*} P \circ Q : \mathbb C^3 \to \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich kann ja auch statt a x schreiben.

Kennst du dich zufälligerweise auch mit Kern und Bild aus?

Müsste nämlich Kern( $\begin{eqnarray*} P \circ Q \end{eqnarray*}$ ) und Bild( $\begin{eqnarray*} P \circ Q \end{eqnarray*}$ ) bestimmen.. Big Laugh

Big Laugh

02.09.2013, 18:19

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ wird auf 0 abgebildet, also ist $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ der Kern und 0 das Bild. Einfacher geht's nicht, oder ?

02.09.2013, 18:40

Kathi_R

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Sorry, dass ich mich einmische...aber ich habe auch einige Fragen zu diesem Thema :-/

"Eine Matrix zu einer linearen Abbildung ist immer eine Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung bezüglich gegebener Basen."

Was kann ich mir darunter vorstellen? Ich brauche einfach irgendein Beispiel, um mir das klar zu machen.

Nehmen wir mal die Matrix P. Das ist also die Matrix zu einer linearen Abbildung. Und wie meinst du das jetzt mit dem "bzgl. der gegebenen Basen"?
Auch wenn das vllt nicht konkret gefragt wurde, ich würde es gerne verstehen.

Tut mir leid, dass ich hier so reinplatze!

Liebe Grüße

02.09.2013, 18:44

küb

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Also, wenn ich es vorgesagt kriege, dann gehts wirklich nicht einfacher :P

Aber nur, damit ich es auch verstehe:

Kern ist $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ , weil A*x=0 sein soll und für jedes x (in unserem Fall) Null wird.

Und Bild ist 0, weil für jedes beliebige x A*x=b Null wird?

@Edit: Achja, dieser Satz ist vollkommen untergegangen.. Wollte auch noch fragen, was das bedeutet. smile

smile

02.09.2013, 19:08

Kathi_R

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Und zu dem Kern und dem Bild:

Das Bild wird gleich 0, weil ich keine Kopfzeilen habe, oder?

Und zum Kern: Ich dachte, der Kern muss ein Vektor sein?! Wie kann er denn dann $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ sein?

Und der Nullvektor, den küb vorhin erwähnt hat: Wieso habe ich plötzlich eine 3x1-Matrix, wenn doch meine Komposition eine 3x3-Matrix ist (auch wenn es nur Nullelemente enthalten hat)?

02.09.2013, 19:16

küb

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Ja, stimmt.
Dann müsste auf der rechten Seite ja eig. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ stehen. Aber auf der linken?

03.09.2013, 18:37

Elvis

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$\begin{eqnarray*} Kern(\phi):=\{x\in V:\phi(x)=0\}<V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Bild(\phi):=\{\phi(x):x\in V\}<W \end{eqnarray*}$ einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi:V\to W \end{eqnarray*}$ sind Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ .

@küb : du hast anscheinend verstanden, worum es geht.

@Kathi_R : wieso brauchst du noch ein Beispiel für eine lineare Abbildung und ihre Darstellungsmatrix ? Hier ist doch die ganze Zeit von einem Beispiel die Rede.

Noch einmal allgemein zum Mitdenken: $\begin{eqnarray*} \phi:V\to W,x\to y=\phi(x)=Ax \end{eqnarray*}$ , dabei ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ die lineare Abbildung, $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Darstellungsmatrix für gegebene Basen von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein Vektor aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Bei einem Basiswechsel in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ verändert sich die Darstellungsmatrix in bekannter Weise (Stichwort: Basistransformation) , indem man $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ von links und rechts mit regulären Transformationsmatrizen multipliziert.

03.09.2013, 18:42

Kathi_R

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Hey, also einen Großteil meiner Fragen hat die VL heute beantwortet. Auch die Sache mit der linearen Abbildung :-)

Nur die Sache mit dem Kern und dem Bild noch nicht...

Wenn ich eine Nullmatrix habe, ist das Bild gleich 0, weil ich keine Kopfzeilen/-spalten habe und der Kern müsste meiner Meinung nach doch auch Null sein, oder?

Viele Grüße und in dem Fall, vielen Dank!

03.09.2013, 18:53

Elvis

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Der ganze Urbildraum V wird durch die Nullabbildung auf 0 abgebildet, also ist V=Kern. Nicht nur die 0 wird auf 0 abgebildet, V wird auf 0 abgebildet. Der Kern ist das, was auf 0 abgebildet wird.

03.09.2013, 19:29

Kathi_R

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Ich glaube, ich hab´s.

Da es egal ist, welche Elemente die Komposition enthält (es wird ja immer 0 abgebildet) kann ich alle Elemente aus dem VR V nehmen. Und da der Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ entspricht, ist das auch mein Kern.

Richtig?

03.09.2013, 19:36

Elvis

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richtig

smile

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