Zweimal Differenzierbare Funktion, Grenzwert

02.09.2013, 17:28	differenzierer	Auf diesen Beitrag antworten »
Zweimal Differenzierbare Funktion, Grenzwert Meine Frage: Hi, ich habe folgende Aufgabe und bin mir nicht sicher, ob meine Lösung so korrekt ist. Also: Sei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zweimal stetig differenzierbar. Man berechne den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h)-2f(a+h)+f(a)}{h^2} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich habe es so gemacht: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h)-2f(a+h)+f(a)}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h)-f(a+h)}{h^2} + \frac{f(a)-f(a+h)}{h^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \frac{f(a+2h)-f(a+h)}{a+2h-(a+h)} - \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} - f'(a) \cdot \lim_{h \to 0} \end{eqnarray}$ . Jetzt habe ich, da $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ stetig ist, folgenden Schritt gemacht: $\begin{eqnarray} f'(a) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} - f'(a) \cdot \lim_{h \to 0} = \lim_{h \to 0} \frac{f'(a+h)-f'(a)}{h}=f''(a) \end{eqnarray}$ . Kann man das so machen oder liege ich hier völlig falsch? Danke LaTeX-Tags korrigiert. Steffen Edit Equester: Zeilenumbruch eingefügt.
02.09.2013, 18:26	integralabs	Auf diesen Beitrag antworten »
du kannst den limes 1/h nicht rausziehen, da dieser nicht existiert. vielleicht helfen die grenzwert sätze, schaue auf die vorraussetzung. Tipp: forme folgendermassen um: [ (f(a+h+h)-f(a+h)) / h - (f(a+h)-f(a)) / h) ] / h
02.09.2013, 18:51	differenzierer	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich so umforme, wie du es machst, dann habe ich ja fast das gleiche. Kann ich dann weiter so vorgehen: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(a+2h)-f(a+h)}{h}-\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}{h} = \frac{\lim_{h \to 0}\frac{f(a+2h)-f(a+h)}{h}-\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}{\lim_{h \to 0}h} \end{eqnarray}$ ?
02.09.2013, 19:44	integralabs	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt kannst du den taylor verwenden!!! f(a+h)-f(a) = f'(a)h+1/2f''(a)h^2+o(h^2) nun bekommst du eingesetzt [f'(a+h)h+1/2f''(a+h)h^2+o(h^2) - (f'(a)h+1/2f''(a)h^2+o(h^2))] / h wenn du das nun auflöst und beachtest, dass f'' stetig ist und das für f,g=o(h^2) -> f-g =o(h^2) und o(h^2)/h^2= i(h)->0 für h->0 gilt, hast du das erwünschte resultat. wobei o(h^2) = g(h)h^2 und g(h)->0 für h->0 (also f=o(h^2) bedeutet lim f(h)/h^2 -> 0 für h->0
02.09.2013, 19:47	integralabs	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, der ganze bruch natürlich über h^2, also [f'(a+h)h+1/2f''(a+h)h^2+o(h^2) - (f'(a)h+1/2f''(a)h^2+o(h^2))] / h^2

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