Kurvendiskussion

02.09.2013, 17:37

Bullop

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Kurvendiskussion

Guten Tag,

und zwar haben wir kürzlich mit der Kurvendiskusion angefangen, und haben eine Übungsaufgabe dazu bekommen welche folgendermaßen aussieht:

1. Definitionsberich D=R
2. Verlauf
3. Symetrie
4. Nullstellenberechnung
5. Extrrempunkte
6.Wendepunkte
7.Wertetabelle
8 Zeichnung

Hierbei ist folgende Gleichung Gegeben : 3x^4-8x^3+6x²
Und wir sollen anhand der Funktion [-1;2] zeichnen.

Ich habe schon meine Lösung hier, habe jedoch noch Fragen die offen geblieben sind:

Zu 1. D=R

Zu 2. gerade II ---> I + unendlich ---> + unendlich

Hier meine Frage, woran erkenne ich, das diese Funktion gerade ist? Welche Exponenten muss ich mir anschauen?

3. Keine Symetrie --> handelt es sich hier um keine Symetrie weil alle Exponenten weder gerade noch ungerade sind, oder warum keine Symetrie?

4. Habe hier Anwendung und AUsklammern des Satzes des Nullproduktes Angewendet und komme hierbei auf x 1,2 =0 (x3,4) leere menge bzw. keine Nullstelle

5.
Lasse hier mal die Ableitung außen vor:

f ' (x)=0

12x^3 - 24x² +12x =0 /: 12

x^3 -2x² +x =0

Anwenden und AUklammern Satz des Nullproduktes:

x(x² -2x) ---> x1 = 0

x² - 2x = 0

xE2 = 2 xE3 = 0

Hier mal eine Frage, da ich jetzt hier 3 Extremstellen habe muss ich für die Tiefpunkt bzw. Hochpunktbestimmung nun 3x explezit aufschreiben? Bin bisher nur 2 Extremstellen gewöhnt.

f '' (2) > 0 --> T
f '' (0) > 0 ---> T
f'' (0) > 0 ----_> T

6.
f '' (x) =0

36x² -48 +12 =0 / :4
9x²-12x+3=0 /:3
3x²-4x+1 =0 /:3
x² - 4/3 +1/3

x1,2 = 2/3 +
- Wurzel 4/6 -2/6

2/3 +
- Wurzel 2/6

An dieser Stelle wüsste ich jetzt nicht wie ich weiter agieren sollte. Wenn ich die Wurzel aus den 2/6 ziehen würde, kämen ja z.b. 1, ...... und 2, .......

Was soll ich an dieser Stelle tun?

Zu 7. Ist hier eine Wertetabelle möglich?

Zu8.

Wie muss ich vorgehen um diese Funktion zeichnen zu können?

Wäre über eine schnelle Antwort dankbar

FG: Bullop

02.09.2013, 17:56

Gast11022013

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RE: Kurvendiskussion

Zitat:

Original von Bullop

Zu 2. gerade II ---> I + unendlich ---> + unendlich

Hier meine Frage, woran erkenne ich, das diese Funktion gerade ist? Welche Exponenten muss ich mir anschauen?

Was meinst du hier damit, dass die Funktion gerade ist?

Der Begriff einer geraden oder ungeraden Funktion hängt mit der Symmetrieeigenschaft zusammen.

Ja, die Funktion weist keine Symmetrie auf, da weder alle Exponenten gerade, oder alle Exponenten ungerade sind. Wir haben hier einen Mix.

Deine Nullstellen stimmen.

Zitat:

Anwenden und AUklammern Satz des Nullproduktes:

x(x² -2x) ---> x1 = 0

x² - 2x = 0

xE2 = 2 xE3 = 0

Hier läuft beim ausklammern etwas schief. Siehst du den Fehler?

Bei deiner Berechnung der Wendepunkte hast du ne menge Tippfehler.
Außerdem wendest du die pq-Formel falsch an und stattdessen nacheinander durch 4, 3 und nochmal 3 zu teilen, hättest du einfach direkt durch 36 dividieren können. Für die Anwendung der pq-Formel ist ja ohnehin die 1 vor dem x² notwendig.

Zitat:

Zu 7. Ist hier eine Wertetabelle möglich?

Eine Wertetabelle ist eigentlich immer möglich. Die Frage ist eher ob sie notwendig ist, oder ob dir die Eigenschaften und berechneten Punkte zum zeichnen reichen.

Weißt du den was eine Wertetabelle ist?

Um die Funktion zu zeichnen beziehst du alle dir bekannten Informationen ein und überträgst diese in ein Koordinatensystem. Dort trägst du die Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte ein.
Wenn eine Wertetabelle gefordert ist, dann kannst du über diese weitere Informationen erhalten.

02.09.2013, 18:55

Bullop

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Hallo Gmasterflash,

danke für deine schnelle Antwort.

Mit 2. meine ich den Verlauf bzw. Das Verhalten im unendlichen hier der link dazu:

[attach]31343[/attach]

Zum AUsklammern. Da fällt mir kein Fehler auf.

Zum Wendepunkt:

Bin nichmals durchgegenagen und hab :36 geteilt

x² -48/32 + 12/36 =0 -----> kürzen

x² - 3/2 + 1/3

x1,2 = 3/4 + - Wurzel aus 9/16 - 1/3

Hier kann man die 1/3 nicht auf einen gemeinsamen Nenner bringen, was tun?

Zur Wertetabellenfrage:

Ja, bei einer Wertetabelle nimmt man für x irgendenwelche Zahlen z.b. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Edit opi: Bild angehängt, Link entfernt. Bilder bitte immer direkt im Board hochladen. Wäre doch schade, wenn dieses Bild eines Tages verloren ginge.

02.09.2013, 19:16

Gast11022013

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Ich blicke nicht ganz durch dieses Bild durch, aber das die Funktion für x gegen plus und minus unendlich ins Unendliche strebt, ist korrekt.

Ich würde nun erstmal vorschlagen, dass wir die verbleibenden Punkte Schritt für Schritt angehen und nicht alle auf einmal.

Wenn du nun keine Fragen mehr zu den Teilen 1-4 hast, dann würde ich mit 5 weiter machen.

Also die Extrempunkte.

$\begin{eqnarray*} f(x)=3x^4-8x^3+6x² <br /> <br /> f '(x)=12x^3-24x^2+12x \end{eqnarray*}$

Die erste Ableitung nun gleich Null setzen.

$\begin{eqnarray*} 12x^3-24x^2+12x=0<br /> <br /> x^3-2x^2+x=0 \end{eqnarray*}$

Nun hast du an dieser Stelle ausgeklammert, was richtig ist. Dabei machst du jedoch einen Fehler.

$\begin{eqnarray*} x(x^2-2x)=0 \end{eqnarray*}$

ist dein Ergebnis.
Wenn wir die Klammer wieder ausmultiplizeren, dann erhalten wir

$\begin{eqnarray*} x^3-2x^2=0 \end{eqnarray*}$

Es fehlt der Summand x.
Siehst du nun, was beim ausklammern falsch gelaufen ist?

02.09.2013, 21:02

Bullop

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Sry das ich spät Antwort, musste Weg.

Achso das absolute Glied darf wohl kein x haben oder?

sprich man muss nochmal ausmultiplizieren?

x(x² -2x)

x²-2x

x(x-2)

oder?

02.09.2013, 21:06

Gast11022013

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Nein, ich habe bloß wieder ausmultipliziert um dir zu zeigen, dass bei deinem Schritt etwas schiefgegangen ist.

Wir haben ja:

$\begin{eqnarray*} x^3-2x+x=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt wollen wir ein x ausklammern. Nun kannst du für x jedoch 1\cdot x schreiben, also

$\begin{eqnarray*} x^3-2x+1\cdot x=0 \end{eqnarray*}$

Siehst du nun, was beim ausklammern rauskommen sollte?
Du musst ja auch sicherstellen, dass wenn du wieder ausmultiplizierst das selbe wie vorher da stehen hast, also wieder auf

$\begin{eqnarray*} x^3-2x+x \end{eqnarray*}$

kommst.

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02.09.2013, 21:13

Bullop

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Ja genau.

Wenn wir x^3 -2x² + x ausklammern müsste das doch folgendermaßen aussehen:

x ( x² -2x + 1 )

oder?

02.09.2013, 21:18

Gast11022013

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Jetzt passt es.

$\begin{eqnarray*} x(x^2-2x+1)=0 \end{eqnarray*}$

Nun kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden.
Du könntest x^2-2x+1 auch noch weiter faktorisieren und die Nullstellen dann direkt ablesen, oder es zum Beispiel mit der pq-Formel lösen.

02.09.2013, 21:22

Bullop

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Ach jetzt hab ich es gemerkt, dass ich die 1 vergessen habe ´, danke dir smile

smile

Den Weg um weiter zu faktorisieren ist mir unbekannt, ich würde hier pq-Formel anwenden. Könntest du mir zeigen wie das faktorsieren funktioniert?

02.09.2013, 21:29

Gast11022013

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Eine solche Faktorisierung ist eigentlich nur sinnvoll, weil man dadurch Zeit sparen kann, oder es allgemein einfach eleganter ist. Wenn man die Faktorisierung nicht direkt sieht, dann rechne einfach so weiter wie es dir bekannt ist. Mit der pq-Formel kommst du jedenfalls auch zum Zeil nur eben 30 Sekunden später.

Wenn du die Faktorisierung "sehen" möchtest, dann kannst du dir ja mal alle drei binomischen Formeln hinschreiben und gucken ob dir was auffällt wenn du

$\begin{eqnarray*} x^2-2x+1 \end{eqnarray*}$ anguckst.

02.09.2013, 21:43

Bullop

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Ne keine Idee , da bleib ich lieber beider pq- Formel

x² -2x +1

x1,2 = 1+ - Wurzel aus 1 -1

x1,2 = 1 + - wurzel 0

Daraus folgt, wenn unter der WUrzel 0 steht , dann ergibt sich nur eine Nullstelle x=1

eine doppelte Nst und Berührpunkt.

02.09.2013, 21:49

Gast11022013

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Das wäre korrekt.

Man könnte

$\begin{eqnarray*} x^2-2x+1 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} (x-1)^2 \end{eqnarray*}$ faktorisieren und dann die doppelte Nullstelle direkt ablesen. Wenn es dich interessiert.

Das wäre die Anwendung der zweiten binomischen Formel:

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

Die im Vergleich mit unserem Term sehr ähnlich ist.

Ich werde nun schlafen gehen. Deshalb kann ich erst morgen wieder antworten, oder es übernimmt jemand für mich.

Gute Nacht.

02.09.2013, 21:55

Bullop

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Okay alles klar danke bis dahin für deine Hilfe. Bin morgen ca. gegen 4 wieder zu Hause. WÄre super wenn wir an der STelle morgen weitermachen smile

smile

03.09.2013, 16:25

Bullop

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So wäre jetzt wieder zu Hause.

Machen wir also mit 6. weiter mit Wendepunkte bestimmen

3x^4-8x^3 +6x²

f' (x) = 12x^3 -24x² + 12x
f'' (x) = 36x²-48x +12

f'' (x) =0

36x² - 48x +12 / :36

x² - 4/3x + 1/3

pq Formel:

x1,2 = 2/3 + - wurzel aus 4/6 + 3/6

x1,2 = 2/3 +- Wurzel aus 7/6

So an der Stelle wüsste ich nun nicht weiter. Denn unter der Wurzel ist ja die 7/6. Zwar kann man hier den Nenner (6) Wurzel ziehen, jedoch nicht die 7. In solchen Fällen hatten wir gelernt das folgendermaßen zu schreiben:

2/3 + - 3 Wurzel aus 7

Die 7 würde alleine in der Wurzel weiterbestehen und würde einfach nach der Lösung hinten ran geschrieben.

Oder ist mein Fehler darin, das ich das q also die 1/3 soweit erweitert habe, dass eben 3/6 rauskommt, war dieser Schritt falsch?

03.09.2013, 16:38

Gast11022013

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Eigentlich waren wir mit den Extrempunkten noch nicht fertig.
Es würden noch y-Werte fehlen und um was für einen Extrempunkt es sich handelt. Hoch oder Tiefpunkt.

Bei der Berechnung des Wendepunktes verwendest du die pq-Formel falsch.

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

Du hast gleich zwei Fehler eingebaut.

Zitat:

So an der Stelle wüsste ich nun nicht weiter. Denn unter der Wurzel ist ja die 7/6. Zwar kann man hier den Nenner (6) Wurzel ziehen, jedoch nicht die 7. In solchen Fällen hatten wir gelernt das folgendermaßen zu schreiben:

2/3 + - 3 Wurzel aus 7

Das kann ich nicht nachvollziehen. Immerhin könntest du aus 7/6 ganz normal die Wurzel ziehen. Es ist aber ohnehin falsch.

03.09.2013, 16:51

Bullop

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Ja das stimmt danke. Als Ergebnis habe ich raus, dass es keine Extremstellen gibt, da f'' (1) = 0 ist.

03.09.2013, 16:55

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

f ''(1)=0 bedeutet, dass du keine Aussage machen kannst ob es ein Hoch oder Tiefpunkt ist.

Dann musst du gucken ob es sich um einen Sattelpunkt handelt. Einer speziellen Form des Wendepunktes.

Es gibt aber sehr wohl eine Extremstelle. Bedenke, dass du x ausgeklammert hast. Welche Lösung liefert dir das?

03.09.2013, 16:57

Bullop

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Das Anwenden und AUsklammern des Satzes des Nullproduktes?

Da ist x1 =0

03.09.2013, 16:59

Gast11022013

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Genau. Und wie lautet

f(0) und f ''(0)

?

03.09.2013, 17:03

Bullop

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f'' (0) 0 = 0 daruas folgt keine Aussage möglich.

03.09.2013, 17:05

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.

Zitat:

f'' (x) = 36x²-48x +12

Rechne nochmal nach.

03.09.2013, 17:11

Bullop

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Die f'' (x) = 36x²-48x +12 ist doch nur für die Wendepunkte relevant oder?

Denn wenn man doch f'' (x) = 36x²-48x +12 f(0) setzt ist das doch die Bedingung für Wendestellenberechnung. Wir sind doch noch bei Extremstellenberechnung, oder irre ich mich?

03.09.2013, 17:14

Gast11022013

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Die Bedingungen für einen Extrempunkt lauten ja

$\begin{eqnarray*} f '(x)=0 \wedge f ''(x)<0 \quad \text{Hochpunkt}<br /> <br /> f '(x)=0 \wedge f ''(x)>0\quad \text{Tiefpunkt} \end{eqnarray*}$

Edit:

Du verwechselst hier auch wohl das gleichsetzten der zweiten Ableitung mit Null und das einsetzten der Null in die zweite Ableitung. Wir wollen gerade letzteres machen.

03.09.2013, 17:18

Bullop

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso jetzt habe ich es verstanden ^^

Also nochmal :

f'' (0) > 0 -----> T

03.09.2013, 17:21

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Jup.

Jetzt bräuchtest du nur noch den y-Wert.

Dann können wir bei den Wendepunkten weiter machen.

03.09.2013, 17:22

Bullop

Auf diesen Beitrag antworten »

Daraus folgt für den y Wert :

T(0;0)

03.09.2013, 17:29

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Dann können wir jetzt mit den Wendepunkten weitermachen.
Hast du deine Fehler in der pq-Formel gefunden?

03.09.2013, 17:36

Bullop

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich hab nochmal neu gerechnet und komme auf folgendes :

x² - 4/3x + 1/3

x1,2 = 4/6 + - Wurzel aus 16/36 - 12/36

x1,2 = 4/6 + - Wurzel aus 4/36

x1,2 = 4/6 + - 2/6

x1 = 1 x2 = 1/3

richtig?

03.09.2013, 17:39

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Jetzt wie oben die weitere Bedingung prüfen, ob

$\begin{eqnarray*} f '''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

ist.

In deiner Rechnung hättest du natürlich noch kürzen können.

Beachte auch, dass du der Lösung x=1 etwas mehr Beachtung schenkst.

03.09.2013, 17:49

Bullop

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f''' (1) ungleich 0 daraus folgt W ( 1 ; 1 )

f'''(1/3) ungleich 0 daraus folgt W ( 1/3 ; 11/27)

03.09.2013, 17:52

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre korrekt.

(1|1) ist aber nicht ein ganz normaler Wendepunkt.

Guck dir nochmal deine Berechnung der Extremwerte an und den Punkt wo wir zuvor keine Aussage treffen konnten.

03.09.2013, 18:03

Bullop

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Zur Extremstelle von vorhins :

x1 = 0 f'' (0) > 0 T

T(0;0)

Hier bei W(1;1) ist doch eig. ein Wendepunkt :/

03.09.2013, 18:08

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine aber die Lösung x=1 bei den Extremstellen wo wir keine Aussage treffen konnten.

Nun haben wir bei der Berechnung der Wendepunkte herausgefunden, dass x=1 auch Lösung für einen Wendepunkt ist.
Also ist

$\begin{eqnarray*} f '(1)=0<br /> <br /> f ''(1)=0<br /> <br /> f '''(1)\neq 0<br /> \end{eqnarray*}$

Wie nennt man einen solchen Punkt? Hatte es oben bereits genannt.

03.09.2013, 18:12

Bullop

Auf diesen Beitrag antworten »

Extrempunkt?

03.09.2013, 18:13

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.

Dann handelt es sich um einen sogenannten Sattelpunkt. Einer speziellen Form des Wendepunktes, weil die Steigung dort Null ist.

Hattet ihr den schon besprochen in der Schule?

03.09.2013, 18:19

Bullop

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Ja jetzt fällt mir ein sie hatte das mal kurz erwähnt gehabt anhand der kubischen Funktion (standartschablone bzw. Zeichnung)

03.09.2013, 18:21

Gast11022013

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Wenn das klar ist, dann wären wir hier eigentlich fertig.

Bei der Wertetabelle oder Zeichnung kann ich dir nicht wirklich helfen. Ich könnte höchstens die Werte deiner Wertetabelle überprüfen.

03.09.2013, 18:35

Bullop

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Ist das nur bei (1;1) der Fall das da ein Sattelpunkt herrscht?

Okay dann werde ich für die Werttabelle folgende werte nehmen:

-3 = - 81
-2,5 = -29,69
-2 = - 8
-1 = - 1

0 = 0

1 = 1
2,5 = 29,69
2 = 8
2,5=
3 = 81

03.09.2013, 18:47

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Wertetabelle scheint einen Fehler zu haben, weil du in deinem TR ohne Klammern gerechnet hast.

f(-3)=513

zum Beispiel. Die anderen Werte habe ich aber nicht überprüft. Negativ dürfen sie aber schon gar nicht sein.

Ich würde die Achseneinteilungen so wählen, dass du von -1 bis 2 auf der x-Achse gehst und auf der y-Achse bis 2. Die Funktion ist ja ohnehin nie negativ.

03.09.2013, 18:58

Bullop

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Okay dann :

-1 ; =17
-0,5 ; =2,69
0 ; = 0
0,5 ; = 0,69
1; = 1
2 ; = 8
3 = 81

PS: Woran erkennt man das die Gleichung nichts negatives ein kann?

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