Logarithmus vom Erwartungswert

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Kunzi Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmus vom Erwartungswert
Hallo,

ich suche einen Beweis und eventuelle Bedingungen für die Aussage:



habe überhaupt keinen Ansatz unglücklich

Vielen Dank

LG
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Kunzi,

da solltest du dich meiner Meinung nach schon etwas genauer ausdrücken. "ungefähr gleich" - Aussagen sind schwer zu beweisen, wenn man nicht weiß, wie groß die Toleranzgrenze für "ungefähr gleich" sein soll. Außerdem ist die Aussage i.A. völlig flasch. Ist zB x eine Zufallsgröße, die mit WSK 50% den Wert 0 und mit WSK 50% den Wert 1 annimmt, so divergiert E(ln x), während ln E(x) = -ln(2) ist. Auch wenn du x>0 forderst, lassen sich problemlos Beispiele finden, bei denen beide Seiten nicht annähernd gleich sind.

LG Dustin
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal sollte die Zufallsgröße positiv sein, d.h. , ansonsten ist die rechte Seite nämlich undefiniert (d.h. solche Extremfälle wie den von Dustin beschriebenen nehme ich mal bewusst raus).

Ist dies der Fall, dann liefert die Jensensche Ungleichung angewandt auf die konkave Funktion die Aussage

.


Im Extremfall kann aber auch hier z.B. gar nicht existieren, d.h. , während die rechte Seite aber existiert! Von



für alle möglichen positiven Zufallsgrößen kann also keine Rede sein. unglücklich
SHHLPA Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte mal folgenden Vorschlag... bin aber nicht so ganz überzeugt ob das stimmt.

Der Logarithmus kann ja auch als Reihe geschrieben werden und hat ja Konvergenzradius 1, d.h. für Werte in [0,1) ist der Logarithmus eine absolut konvergente unendliche Summe.

Bei absolut konvergenten Reihen kann man den Erwartungswert reinziehen, d.h. E(ln(X)) = ln(E(X)), für X in [0,1), also z.B. wenn X gleichverteilt auf [0,1).

Hat jemand Einwände, und wenn ja, wo liegt der Fehler? Oder kann jemand bestätigen, dass das stimmt?
SHHLPA Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, ich bin hier noch nicht soo lange dabei. Sollte ich die Frage in einem neuen Thread nochmal stellen?
VG
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SHHLPA
Bei absolut konvergenten Reihen kann man den Erwartungswert reinziehen, d.h. E(ln(X)) = ln(E(X)), für X in [0,1), also z.B. wenn X gleichverteilt auf [0,1).

Hat jemand Einwände

Ja, hab ich, das ist einfach falsch - rechne doch mal dein Beispiel mit der Gleichverteilung wirklich aus: Da kommt mitnichten Gleichheit heraus. unglücklich



Nochmal ganz ausführlich: Ist eine Zufallgröße mit Wertebereich , d.h. , und ist eine konkave Funktion, dann gilt laut Jensenscher Ungleichung

.

Ist überdies streng konkav, und zudem nicht fast sicher konstant, dann gilt sogar

.

Tatsächlich ist die Vertauschbarkeit bei ansonsten milden Bedingungen an eigentlich nur gegeben, wenn eine lineare Funktion ist, also . D.h., für alle anderen Funktionen findet man Zufallsgrößen mit existenten und , so dass aber gilt.
 
 
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