Arithmetisches Mittel, Durchschnittliche Abweichung (Statistik)

03.09.2013, 12:55

MadCookieMonster

Arithmetisches Mittel, Durchschnittliche Abweichung (Statistik)

Hallo Leute,
ich helfe momentan einer Freundin ein wenig bei der Vorbereitung auf ihre Statistik I Nachschreibeklausur. Ich selber habe leider noch nie Statistik gehört und habe deswegen auch ein paar Probleme mit folgenden 2 Aufgaben. Wir haben einiges versucht aber da wir leider keine Lösungen haben wissen wir nicht, ob das alles seine Richtigkeit hat.

Aufgabe 1:

Bei einer Prüfungsklausur erhielten von den Teilnehmern Note 1 4%, Note 2 21%, Note 3 18%, Note 4 32%. Nicht bestanden (Note 5) hatten 25%.

Zu berechnen ist die Durchschnittsnote (AM) und die Streuung der einzelnen Noten um die Durchschnittsnote (Durchschnittliche Abweichung).

Ansatz:

Zunächst die Durchschnittsnote mit dem Arithmetischen Mittel:

$\begin{eqnarray*} 0,04*1 +0,21*2 + 0,18*3 + 0,33*4+0,25*5 = 3,57 \end{eqnarray*}$

Ich weiß wie man das Arithemtische Mittel berechnet aber hier haben wir ja nur allgemeine Prozentzahlen. Im Internet habe ich da diese Vorgehensweise gefunden.

Für die Streuung wird im Skritp folgende Formel angegeben:

$\begin{eqnarray*} \delta = \frac{\sum\limits_{i=1}^n | x_{i} - AM| }{n} \end{eqnarray*}$

Das Problem ist, dass wir ja kein festes n haben. Wir wissen also nicht, wie wir die Streuung berechnen sollen.. =(

Irgendwelche Tipps?

Aufgabe 2:

Bei 500 Studenten, die durch eine Stichprobe erfasst wurden, ergaben sich folgende Zeiten für den Weg zur Hochschule:

Minuten Anz. Stud.
unter 10 75
10 bis u. 20 97
20 bis u. 30 143
30 bis u. 60 109
60 bis u. 120 51
120 und mehr 25
Sum 500

Zu berechnen Sind:
Arithmetisches Mittel, Standardabweichung, Median, 1. Quartil, 3. Quartil.

Ansatz:

Das Problem beginnt schon beim Arithmetischen Mittel. Unsere Klassen haben ja jetzt keinen festen Wert sondern ein Intervall. Im Internet habe ich gefunden, dass man dann die Intervallmitte nimmt. Probleme macht das nur bei der 1. und letzten Klasse. Für die erste Klasse könnte man 5 als Mitte nehmen weil negative Werte keinen Sinn machen. Was für einen Wert nimmt man dann bei der Klasse 120 und mehr?

Wir haben hier einfach 120 genommen und kommen dann auf:

$\begin{eqnarray*} AM = 35,8 \end{eqnarray*}$

Für die Standardabweichung haben wir folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} s = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_{i} - AM)^2 }{n} } \end{eqnarray*}$

Und bekommen folgendes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} s = 30,53 \end{eqnarray*}$

Stimmt das bis hier hin?

Ich weiß sehr viel auf einmal. Ich hoffe man versteht alles so einigermaßen.
Sind um jede Hilfe dankbar!

MCM

03.09.2013, 15:56

Steffen Bühler

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RE: Arithmetisches Mittel, Durchschnittliche Abweichung (Statistik)

Zitat:

Original von MadCookieMonster
Das Problem ist, dass wir ja kein festes n haben. Wir wissen also nicht, wie wir die Streuung berechnen sollen.

Setzt einfach ein beliebiges n ein, sinnvollerweise n=100, dann ergibt sich der Rest.

Zitat:

Original von MadCookieMonster
Für die erste Klasse könnte man 5 als Mitte nehmen weil negative Werte keinen Sinn machen.

Ja, das passt gut, denn die zwei nächsten Klassen sind jeweils auch 10 breit. Natürlich könnte man argumentieren, dass niemand in der Uni wohnen wird, 0 bzw. 1 Minute also unplausibel ist. Dann wäre die Untergrenze der ersten Klasse bei 2 und die Mitte 6 statt 5. Aber das sind müßige Betrachtungen. Ich würde bei Deinem Vorschlag bleiben.

Zitat:

Original von MadCookieMonster
Was für einen Wert nimmt man dann bei der Klasse 120 und mehr?

Es gibt hier keine feste Regel. Aber auch hier könnte man die Breite der vorhergehenden Klasse (hier 60) noch einmal verwenden. Dann ginge diese Klasse bis 180 und die Mitte wäre 150. Das ist auch einigermaßen realistisch, mehr als drei Stunden Anfahrt zur Uni ist nicht sehr lebensnah.

Allerdings wäre es nicht korrekt, die Mitte auf 120 zu legen, es gibt offenbar 25 die "120 und mehr" Minuten brauchen, und die werden bestimmt nicht alle exakt zwei Stunden fahren.

Viele Grüße
Steffen

03.09.2013, 18:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von MadCookieMonster
Für die Streuung wird im Skritp folgende Formel angegeben:

$\begin{eqnarray*} \delta = \frac{\sum\limits_{i=1}^n | x_{i} - AM| }{n} \end{eqnarray*}$

Hoffentlich nicht:

Die Streuung (auch Varianz genannt) kennzeichnet die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert.

Dein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ hingegen ist laut dieser Formel die mittlere absolute Abweichung vom Mittelwert.

Das sind schon einheitenmäßig eklatante Unterschiede, aber das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist auch nicht die Standardabweichung (=Wurzel aus der Streuung), hat dann aber zumindest dieselbe Einheit.

11.09.2013, 10:24

MadCookieMonster

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Vielen Dank euch beiden!

Was Steffen sagt macht alles sind und HAL hatte natürlich auch recht. Haben irgendwie die falsche Formel gefunden. Mit der richtigen hat dann auch alles geklappt.

MCM

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