Stetigkeit einer Bilinearform im Sobolevraum

03.09.2013, 14:33

gast_

Stetigkeit einer Bilinearform im Sobolevraum

Meine Frage:
Hallo ich möchte gerne die Stetigkeit folgender Bilinearform zeigen :

$\begin{eqnarray*} B:H^{1}_{0}\times H^{1}_{0} \int_U \! u_x v_x+u_y v_y+u_z v_z+u_y v_z \, d\lambda \end{eqnarray*}$

Dazu muss ich doch folgendes zeigen:
$\begin{eqnarray*} |B[u,v]|\leq \alpha || u ||_{H^{1}_{0}}\cdot || v ||_{H^{1}_{0}} \end{eqnarray*}$ mit alpha größer als 0 beliebig

Meine Ideen:
Also ich bin bis jetzt so weit gekommen:
$\begin{eqnarray*} |B[u,v]|\leq \int_U \! |u_x v_x|+|u_y v_y|+|u_z v_z|+|u_y v_z| \, d\lambda \\&& = \int_U \! \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} +|u_y v_z| \, d\lambda \\&& \leq_{CS} || Du ||_{L2}\cdot || Dv ||_{L2}+ \int_U \! |u_y v_z| \, d\lambda \end{eqnarray*}$

und jetzt will ich gerne irgendwie den zweiten Term wegkriegen damit ich dann einfach die L2 Norm gegen die H1 Norm abschätzen kann... nur leider krieg ich das nicht so richtig hin bzw. hätte ich eine Idee

(weiß aber nicht ob man das so machen darf :
$\begin{eqnarray*} \int_U \! |u_y v_z| \, d\lambda \leq \int_U \! |Du Dv| \, d\lambda \end{eqnarray*}$ ... dann hätte ich es ja auch smile

)

03.09.2013, 14:47

Che Netzer

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RE: Stetigkeit einer Bilinearform im Sobolevraum
Die Gleichheit in deiner Rechnung ist falsch; du hast die Betragsstriche ignoriert (die ändern aber nichts wesentliches).
Aber du kannst doch einfach
$\begin{eqnarray*} \int\lvert u_x\rvert^2\dd\lambda\leq\int\bigl(\lvert u_x\rvert^2+\lvert u_y\rvert^2+\lvert u_z\rvert^2\bigr)\dd\lambda \end{eqnarray*}$
schreiben.

Und wieso möchtest du eine $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ -Norm gegen eine $\begin{eqnarray*} H_0^1 \end{eqnarray*}$ -Norm abschätzen? verwirrt

03.09.2013, 15:01

gast_

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Ups, ja sry die Betragstriche hab ich vergessen.
Ähm ich wollte die $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ Norm gegen die $\begin{eqnarray*} H_{0}^1 \end{eqnarray*}$ abschätzen da ich ja am ende u und v in der $\begin{eqnarray*} H_{0}^1 \end{eqnarray*}$ Norm dort stehen haben muss, also ich wollte das am Ende so machen: $\begin{eqnarray*} ||Du||_{L2} ||Dv||_{L2} \leq ||Du||_{H_{0}^1} ||Dv||_{H_{0}^1} \end{eqnarray*}$ was sich ja schon aus der Definition ergibt.

Aber wenn ich das so umschreibe so wie du meintest krieg ich ja noch ncith das $\begin{eqnarray*} u_yv_z \end{eqnarray*}$ im Integral weg oder?

03.09.2013, 15:04

Che Netzer

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Zitat:

Original von gast_
also ich wollte das am Ende so machen: $\begin{eqnarray*} ||Du||_{L2} ||Dv||_{L2} \leq ||Du||_{H_{0}^1} ||Dv||_{H_{0}^1} \end{eqnarray*}$ was sich ja schon aus der Definition ergibt.

Ist bei euch denn nicht $\begin{eqnarray*} \lvert u\rVert_{H_0^1}=\lVert Du\rVert_{L^2} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Aber wenn ich das so umschreibe so wie du meintest krieg ich ja noch ncith das $\begin{eqnarray*} u_yv_z \end{eqnarray*}$ im Integral weg oder?

Dazu nutzt du natürlich Cauchy-Schwarz.
Einmal auf (das Integral über) $\begin{eqnarray*} Du\cdot Dv \end{eqnarray*}$ und einmal auf das Integral von $\begin{eqnarray*} u_yv_z \end{eqnarray*}$ .

03.09.2013, 15:23

gast_

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Nee wir hatten die H Norm so definiert ( wobei die Konvergenz wahrscheinlich äuqivalent zu der Konvergenz in L2 ist ):

$\begin{eqnarray*} || u ||_{H_{0}^1} =(\int_a^b \! u^2+Du^2 \, dx )^{0,5} \end{eqnarray*}$

Ahh jetzt versteh ich auch was du mit deiner Abschätzung im ersten Post meintest ist es so richtig?:

$\begin{eqnarray*} |B[u,v]|\leq \int_U \! |u_x v_x|+|u_y v_y|+|u_z v_z|+|u_y v_z| \, d\lambda \\ = \int_U \! \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} +|u_y v_z| \, d\lambda \\ \leq_{CS} || Du ||_{L2}\cdot || Dv ||_{L2}+ ||u_z ||_{L2} || v_y ||_{L2} \\ \leq || Du ||_{L2}\cdot || Dv ||_{L2}+ ||Du||_{L2}\cdot || Dv ||_{L2} \\ \leq 2|| Du ||_{L2}\cdot || Dv ||_{L2} \end{eqnarray*}$

Sorry, mit latex dauert das bei mir immer ne ewigkeit

03.09.2013, 15:25

gast_

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Wieder mal abgesehen vom Betragfehler ( hab den grad wieder vergessen zu korigieren)

03.09.2013, 15:28

Che Netzer

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Hier etwas schöner und mit richtigen Betragsstrichen:

Zitat:

Original von gast_
$\begin{align*} |B[u,v]|&\leq \int_U \! \Bigl(|u_x v_x+u_y v_y+u_z v_z|+|u_y v_z|\Bigr) \, \dd\lambda \\& = \int_U \! \left(\left\lvert\begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}\right\rvert +|u_y v_z| \right)\, \dd\lambda \\& \leq_{CS} || Du ||_{L2}\cdot || Dv ||_{L2}+ ||u_z ||_{L2} || v_y ||_{L2} \\& \leq || Du ||_{L2}\cdot || Dv ||_{L2}+ ||Du||_{L2}\cdot || Dv ||_{L2}\\& \leq 2|| Du ||_{L2}\cdot || Dv ||_{L2} \end{align*}$

Edit: Ach ja, und eure $\begin{eqnarray*} H_0^1 \end{eqnarray*}$ -Norm kenne ich eher auf $\begin{eqnarray*} H^1 \end{eqnarray*}$ . Auf $\begin{eqnarray*} H_0^1 \end{eqnarray*}$ braucht man nur die $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ -Norm der Ableitung, die ist dann äquivalent zu eurer $\begin{eqnarray*} H^1 \end{eqnarray*}$ -Norm.

03.09.2013, 15:32

gast_

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ok, dankeschön smile

Achja bei der Norm sollte es auch so heißen :
$\begin{eqnarray*} || u ||_{H_{0}^1} =(\int_a^b \! u^2+(Du)^2 \, d\lambda )^{0,5} \end{eqnarray*}$

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