Äquivalenzumformungen zwischen zwei Gleichungen anhand gleicher Lösungsmenge

03.09.2013, 15:02	londoneye	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzumformungen zwischen zwei Gleichungen anhand gleicher Lösungsmenge Meine Frage: Hallo zusammen, ich stehe gerade zwischen Schule und Studium und bin beim Wiederholen des Schulstoffs in der analytischen Geometrie auf eine Unklarheit gestoßen. Und zwar geht es um die verschiedenen Darstellungsformen von Ebenengleichungen. Wenn man aus der Parameterform(PF) mittels Kreuzprodukt der beiden Vektoren auf die Normalform(NF) und von dort aus dann zur Koordinatenform(KF) kommt, sind die Koeffizienten von $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} x_{3} \end{eqnarray}$ ja die 3 Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene. Das ist ja soweit klar, allerdings gibt es ja auch die Möglichkeit aus der PF mittels Eliminierung der beiden Parameter zu einer KF zu kommen und dort sind dann auch wieder die Koeffizienten von $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} x_{3} \end{eqnarray}$ die 3 Koordinaten eines Normalenvektors. Die Frage ist nun, warum kann man diesen letzten Sachverhalt mit Sicherheit so bestätigen? Oder anders gefragt (nun algebraisch): Wie kann man sicher begründen, dass zwei Gleichungen mit derselben Lösungsmenge (KF aus PF direkt und KF aus PF über NF; beide beschreiben die Ebene) mit Äqivalenzumformungen ineinander zu überführen sind (und somit, dass die Koeffizienten der KF aus PF direkt eben sicher die 3 Koordinaten des Normalenvektors dartellen)? Äquivalent sind die beiden fraglichen Gleichungen ja laut Definition der Äqivalenz: Zwei Gleichungen sind äqivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen. Da dieser Schritt durch Definition aber gesichert ist, bleibt die Frage beim eigentlich sicheren Schritt von "Gleichungen sind äqivalent" zu "man kann sie durch Äquivalenzumformung ineinander überführen" hängen. Vielen Dank im Voraus! Meine Ideen: Eine allgemeine Begründungsweise mit zwei Gleichungen gleicher Variablen $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} x_{3} \end{eqnarray}$ und unterschiedlichen Koeffizienten, z.B. $\begin{eqnarray} a_{0} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} a_{3} \end{eqnarray}$ für die erste, $\begin{eqnarray} b_{0} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} b_{3} \end{eqnarray}$ für die zweite. Dann könnte man irgendwie zeigen, dass für ein reeles z gilt: $\begin{eqnarray} a_{y} \end{eqnarray}$ * z = $\begin{eqnarray} b_{y} \end{eqnarray}$ , also dass die beiden Gleichungen mit Äquivalenzumformung ineinander überführbar sind.
09.09.2013, 18:14	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die beiden Koordinatendarstellungen die gleiche Ebene darstellen, dann sind es vielfache voneinander, falls das deine Frage war und die Antwort nicht viel zu spät kommt

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