gegen 0 konvergente Folge von binomialverteilten Zufallsvariablen

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Studentu2012 Auf diesen Beitrag antworten »
gegen 0 konvergente Folge von binomialverteilten Zufallsvariablen
Meine Frage:
Hallo, Die Aufgabe lautet: 1.) Man zeige, dass eine auf einem W-keitsraum gegebene Folge von unabhängigen -verteilten Zufallsvariablen genau dann in W-keit gegen 0 konvergiert, wenn
2). und dass gilt P-fs genau wenn .
3.) Daraus folgere man, dass für gilt aberkonvergiert nicht gegen

Meine Ideen:
Ich hab zwar die ganz Lösung, aber ich verstehe sie nicht. Hier mal der Teil zu 1.:
Für 0<<1 gilt .
Also ich verstehe daran nicht, Wieso nach dem ersten Gleichheitszeichen =1, denn wenn X_n z.B. 5 wäre, wäre es ja auch größer als Epsilon? Oder ist mit lim der lim inf gemeint und deshalb die kleinste Zahl, die größer ist als Epsilon? Außerdem verstehe ich nicht, was P(|X_n|>Epsilon) bedeutet, denn normalerweise schreibt man Ereignisse ja in eckige Klammern rein, oder ist hier nicht die W-keit von einem Ereignis, sondern einfach die W-keit aller Zufallsvariablen gemeint, die größer als Epsilon sind? Was p_n ist, weiß ich auch nicht (vor allem nicht, warum das zweite Gleichheitszeichen gilt und auch nicht, warum die W-keit lim_n P(X_n = 1) = 0 ist.
Könnte mir das vielleicht wer erklären? Wäre echt toll, weil dieses Unverständnis ganz grundlegender Dinge hindert mich daran, den weiteren Verlauf der Aufgabe zu kapieren.
Danke schonmal
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht erklärst du erstmal deine Symbolik: Es geht irgendwie um Binomialverteilungen, Ok.

Anscheinend soll dann eine solche kennzeichnen, aber was sollen in der Symbolik Versuchsanzahl und Erfolgswahrscheinlichkeit sein? Meinst du vielleicht ? Oder doch eher Bernoulli-verteilte Zufallsgrößen ? Ich tippe mal auf letzteres.



EDIT: Ok, nachdem ich dein Gewusel unter "Meine Ideen" durchgelesen habe, bin ich mir nun sicher, dass es hier um die Bernoulli-Verteilung geht. Damit kann ich dann deine Fragen im wesentlichen beantworten:

Zitat:
Original von Studentu2012
Hier mal der Teil zu 1.:
Für 0<<1 gilt .
Also ich verstehe daran nicht, Wieso nach dem ersten Gleichheitszeichen =1, denn wenn X_n z.B. 5 wäre, wäre es ja auch größer als Epsilon?

Genau dazu ist die Klärung der Symbolik notwendig!

Denn Bernoulli-verteilt bedeutet, dass die Zufallsgröße nur die beiden Werte 0 oder 1 annehmen kann, andere (wie z.B. deine angesprochene 5) NICHT ! Genauer gesagt gilt dann und .

Zitat:
Original von Studentu2012
Außerdem verstehe ich nicht, was P(|X_n|>Epsilon) bedeutet, denn normalerweise schreibt man Ereignisse ja in eckige Klammern rein,

Dieses "normalerweise" kannst du streichen, es gibt da die unterschiedlichsten Schreibweisen - leider, aber es ist so. Es geht hier um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses



rechts nochmal ganz ausführlich als Teilmenge von geschrieben. Und da hier aber nur die Werte 0 und 1 auftreten können, ist gleichbedeutend mit

(1) , sofern , und

(2) unmöglich, sofern .


Zitat:
Original von Studentu2012
sondern einfach die W-keit aller Zufallsvariablen gemeint, die größer als Epsilon sind?

Wahrscheinlichkeiten sind immmer auf Ereignisse bezogen. Man kann Ereignisse mit Hilfe von Zufallsvariable definieren (z.B., dass der Wert der Zufallsvariable in irgendein Intervall fällt), aber sowas wie "W-keit aller Zufallsvariablen" gibt es nicht, das ist völliger Unsinn!
Studentu2012 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank, das ist genau, was ich wissen wollte! smile
Jetzt ist der 1. Teil auf einmal ganz klar.
Noch eine kurze Frage: Wofür steht die Abkürzung i.o.?
Studentu2012 Auf diesen Beitrag antworten »

und noch etwas: beim allerletzten punkt soll man daraus ja schließen, dass für gilt, dass nicht gegen 0 konvergiert, was ich daraus folgern kann, dass die Summe der harmonischen Reihe unendlich ist, oder?
Was aber ist gemeint mit zeigen, dass gilt P - lim = 0? Für die W-keit welchen Ereignisses steht hier das P und was ist hier der lim [X_n]?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dieser Aufgabe geht es um verschiedene Konvergenzarten der Stochastik:

In 1) um "Konvergenz in Wahrscheinlichkeit", der Grenzwert wird auch kurz symbolisiert.

In 2) geht es dagegen um "fast sichere Konvergenz", eine viel stärkere Forderung.

Der Unterschied zwischen beiden wird an dem Beispiel aus 3) verdeutlicht:

Da wird eine Folge genannt, die zwar "in Wahrscheinlichkeit", aber nicht "fast sicher" gegen 0 konvergiert.


Zitat:
Original von Studentu2012
Wofür steht die Abkürzung i.o.?

irgendwie offtopic - diese Frage. Augenzwinkern
Studentu2012 Auf diesen Beitrag antworten »

aja, das macht jetzt sinn ^^
kaum zu glauben, wie offensichtlich das bsp auf einmal ist (:
offtopic ja, aber da hatte ich mal ein bsp wo "irgendwas > epsilon i.o." stand?
 
 
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