Integral

03.09.2013, 23:40

Guest21

Integral

Meine Frage:
Guten Abend!

Ich schaffe es nicht dieses Integral zu lösen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x} (x+1)} \end{eqnarray*}$

Danke im Vorraus!

Meine Ideen:
Ich habe es versucht indem ich das Wurzel(x) substituiere und komme dann nur bis hierhin:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\sqrt{x} }{z(x+1)} \end{eqnarray*}$

03.09.2013, 23:44

bijektion

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Die Substitution ist aber auch falsch durchgeführt..

03.09.2013, 23:57

guest21

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Hmm wo liegt denn mein Fehler? Ich hab es jetzt nochmals versucht mit der Substitution von $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ und komme wieder auf den gleichen Schritt.

Bitte um Hilfe!

04.09.2013, 00:01

guest21

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Formale Korrektur:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2\sqrt{x} }{z(x+1)} \, dx \end{eqnarray*}$

04.09.2013, 00:05

guest21

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Tippfehler, also nochmal :-( $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2\sqrt{x} }{z(x+1)} \, dz \end{eqnarray*}$

04.09.2013, 00:06

bijektion

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Zur Substitution: $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\sqrt{x} \cdot (x+1)} \, dx \end{eqnarray*}$ . Jetzt substituierst du $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ . Es gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx}=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ . Dann folgt das Integral $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2 \cdot \sqrt{x}}{z \cdot (x+1)} \,dz \end{eqnarray*}$ .
Ok dann stimmt deine Substitution, war etwas unübersichtlich ohne das Integral drumherum. Bringt dir diese Substitution etwas?

04.09.2013, 00:11

guest21

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Also ich persönlich erkenne denke nicht, dass es was bringt, da sich das x nicht raus kürzen lässt. (glaub ich zumindest, vielleicht geht es ja doch?!)

Ich habe den jedoch Tipp bekommen es so zu machen. Dann war vielleicht ein falscher Tipp.

04.09.2013, 00:28

bijektion

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Also die Substitution bringt eher weniger. Hast du noch eine andere Idee?

04.09.2013, 00:37

Guppi12

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Zitat:

Also die Substitution bringt eher weniger.

Nein, die Substitution ist gut !

Ihr dürft nur nicht bei der Hälfte aufhören Augenzwinkern

Ihr müsste alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (richtig!) durch $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ersetzen.

04.09.2013, 00:44

guest21

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Aber was ist denn jetzt falsch, bis zu dem gezeigten Schritt?

Sollte eine andere Substitution durchgeführt werden oder liegt ein Fehler vor?

04.09.2013, 03:43

Kasen75

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Zitat:

Original von guest21
Aber was ist denn jetzt falsch, bis zu dem gezeigten Schritt?

Sollte eine andere Substitution durchgeführt werden oder liegt ein Fehler vor?

Wie Gruppi12 schon schrieb, musst du die Substitution vollständig durchführen. Es darf kein x mehr vorkommen.

Das ist hier

Zitat:

Original von bijektion
Dann folgt das Integral $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2 \cdot \sqrt{x}}{z \cdot (x+1)} \,dz \end{eqnarray*}$ .

nicht der Fall.

Du bekommst dann ein Grundintegral, dass du in einer Tabelle nachschauen kannst, oder du substituierst nochmal- z.B. $\begin{eqnarray*} z=tan(u) \end{eqnarray*}$

04.09.2013, 08:45

guest21

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Ich weiss wirklich nicht was ich da noch tun kann damit das x verschwindet.

Das einzige was mir auffällt ist, das hier $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2 \cdot \sqrt{x}}{z \cdot (x+1)} \,dz \end{eqnarray*}$
wieder ein $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ vorkommt.

04.09.2013, 09:04

Guppi12

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Genau. Es hindert dich also niemand, dieses. $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ zu ersetzen.
Weiter: was ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = z \end{eqnarray*}$ gilt ?

04.09.2013, 11:49

guest21

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Ok ich habs jetzt raus dank eurer Hilfe.

Also mit der Substitution $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z^2= x \end{eqnarray*}$ erhalte ich $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2z}{z(z^2+1)} \, dx \end{eqnarray*}$

Dann lässt sich ein z kürzen und die 2 rausziehen, sodass das Integral eine Elementarfunktion ist.

Ergebnis lautet dann 2 arctan( $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ )

Hoffe das stimmt soweit, finde es so zumindest logisch.

Herzlichen Dank an alle beteiligten :-)

Rein interessehalber noch eine kurze Frage:

Gibt es noch andere (einfache) Möglichkeiten es zu lösen?

04.09.2013, 13:33

Guppi12

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Mir kommt gerade außer "eine Stammfunktion direkt sehen" keine einfachere Möglichkeit in den Sinn. Wüsste nicht wie. Wir sind uns einig, dass es am Anfang kein Grundintegral ist, also muss man mindestens eine Integrationstechnik anwenden. Da es aber bei Anwendung einer einzigen solchen Technik bereits da steht, sehe ich nicht, wie es einfacher gehen soll. Man kann ja nicht eine halbe Technik anwenden.

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