Nicht einfache Integrale

04.09.2013, 14:06	gregorr	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht einfache Integrale Meine Frage: Gesucht wird die Lösung von $\begin{eqnarray} <br /> I = \int_{s=0}^1 ds s^2 \int_{x=0}^1 dx \int_{t=0}^{t(x)} dt t^2 F(t)<br /> \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} <br /> t(x) = -sx +\sqrt{1-s^2(1-x^2)}<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> x(t) = \frac{1 -s^2 -t^2}{2st}<br /> \end{eqnarray}$ Die Lösung ist $\begin{eqnarray} <br /> I = \frac{1}{6}\int_{t=0}^{1} dt t^2 [2-3t+t^3]F(t)<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: In meiner Lösung integriere ich zuerst nach x mit Vertauschung der Integralgrenzen: $\begin{eqnarray} <br /> I = \int_{s=0}^1 ds s^2 \int_{t=0}^{1} dt t^2 F(t)\int_{x(t)}^1 dx<br /> \end{eqnarray}$ dann nach s. Meine Lösung ist $\begin{eqnarray} <br /> I = \int_{t=0}^{1} dt t^2 [\frac{6t^2+8t-3}{24t}]F(t)<br /> \end{eqnarray}$ und weicht damit ab. Der Author der originalen Lösung schreibt er habe zuerst nach x partiell integriert und dann nach s.
27.09.2013, 11:06	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht einfache Integrale Ich habe zwar nicht überprüft, ob $\begin{eqnarray} x(t) \end{eqnarray}$ tatsächlich die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray} t(x) \end{eqnarray}$ ist, aber damit komme ich auch auf deine Lösung. Besonders irritieren finde ich, dass $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ in der vorgegebenen Lösung in der fünften Potenz auftaucht. Da lief wohl irgendetwas schief.
27.09.2013, 11:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht einfache Integrale @gregorr Du tauschst ja zuerst die x- und die t-Integration. Anscheinend ist $\begin{eqnarray} x\mapsto t(x) \end{eqnarray}$ eine im Integrationsgebiet monoton fallende Funktion mit $\begin{eqnarray} t(0) = \sqrt{1-s^2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t(1) = 1-s \end{eqnarray}$ . So wie ich das sehe, bedeutet das abweichend von deiner Rechnung $\begin{eqnarray} \int\limits_{x=0}^1 \int\limits_{t=0}^{t(x)} \ldots = \int\limits_{t=0}^{\sqrt{1-s^2}} ~ \int\limits_{x=0}^{\min(x(t),1)} \ldots \end{eqnarray}$ . Hier mal ein Bildchen für den Fall $\begin{eqnarray} s=0.8 \end{eqnarray}$
27.09.2013, 11:56	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja, die Anwendung von Fubini habe ich auch nicht überprüft
27.09.2013, 12:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab mal zuende gerechnet, es kommt dann tatsächlich $\begin{eqnarray} I = \frac{1}{6} \int\limits_{t=0}^1 t^2(1-t)^2(2+t) F(t) ~ \dd t = \frac{1}{6} \int\limits_{t=0}^1 t^2(2-3t+t^3) F(t) ~ \dd t \end{eqnarray}$ heraus. Die Hoffnung ist allerdings gering, dass es gregorr noch erreicht, da die Anfrage schon über drei Wochen alt ist - na egal.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »