Partikuläre Lösung berechnen

04.09.2013, 15:03	Calc	Auf diesen Beitrag antworten »
Partikuläre Lösung berechnen Meine Frage: Hallo, ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe: Lösen sie das Anfangswertproblem $\begin{eqnarray} y''' + y'' -4y' -4y = 2e^{-x} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y(0)=y'(0)=y''(0)=0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also, den Anfang hab ich noch verstanden: Es gilt $\begin{eqnarray} CP(X)= \lambda^3 + \lambda^2 -4\lambda -4 \end{eqnarray}$ und die homogene Lösung ist $\begin{eqnarray} y_h(x)= c_1e^{-x} + c_2e^{2x} + c_3e^{-2x} \end{eqnarray}$ . Allerdings weiß ich nicht, wie ich die partikuläre Lösung berechnen muss. Kann mir das jemand erklären?
04.09.2013, 15:34	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du kannst hier den Störgliedansatz verwenden. Ist dir diese Methode vertraut ? Eine Lösung der homogenen DGL ist $\begin{eqnarray} \lambda_1=1 \end{eqnarray}$ . Deswegen wäre der Ansatz: $\begin{eqnarray} y_p=x^1\cdot A \cdot e^{-1x} \end{eqnarray}$ Von diesem Ausdruck kann man dann die entsprechenden Ableitungen bilden und in die Differentialgleichung einsetzen. Dann den Koeffizientenvergleich durchführen und A bestimmen. Grüße. Edit: Bin jetzt weg. Wäre schön, wenn dann jemand anders übernehmen würde.
04.09.2013, 20:37	Calc	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hört sich hilfreich an. Funktioniert das auch bei Eigenwerten ungleich 1 bzw. -1 oder ist diese Methode nur auf diesen Fall beschränkt?
04.09.2013, 21:52	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das gilt ganz allgemein (als Eigenwerte verstehe ich hier mal die Nullstellen des charakteristischen Polynoms). Ist $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms und steht $\begin{eqnarray} p(x)\mathrm e^{\lambda x} \end{eqnarray}$ auf der rechten Seite, so macht man den Ansatz $\begin{eqnarray} y_p=x^nP(x)\mathrm e^{\lambda x} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ ein allgemeines Polynom vom gleichen Grad wie $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ist. Bzw. wenn $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ konstant ist: Steht auf der rechten seite $\begin{eqnarray} c\mathrm e^{\lambda x} \end{eqnarray}$ , so wählt man $\begin{eqnarray} x^nA\mathrm e^{\lambda x} \end{eqnarray}$ als Ansatz. Dazu kannst du auch unter dem Stichwort "Resonanz[fall]" suchen.

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