Grundlagen: sup- und max-Funktionen

04.09.2013, 17:42

laienstefan

Grundlagen: sup- und max-Funktionen

Hi,

irgendwie hatte ich von diesen Funktionen noch nie gehört. Mir kommt es vor, als würden sie wie folgt benutzt:

sup (imho heißt das limes superior): diese Funktion pickt aus einer Funktionenfolge mit Parameter x und "Laufvariablle" n den Parameter x raus, für welchen die Folge einen Maximalwert annimmt.

max scheint einfach den maximalen Funktionswert eines Intervalls auszugeben.

Das habe ich mir jetzt aus ein paar wenigen Beispielen zusammengereimt und Wikipedia überfordert mich hier maßlos.
Kann man das vereinfacht so sagen, wie ich es gewtan habe oder habe ich voll daneben gehauen?

LG

04.09.2013, 18:03

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \sup \end{eqnarray*}$ bezeichnet nichts anderes als das Supremum. Strenggenommen wird es auf Mengen angewandt, nicht auf Funktionen. Und $\begin{eqnarray*} \sup M \end{eqnarray*}$ meint die kleinste obere Schranke $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ einer (reellen) Zahlenmenge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Wenn diese kleinste obere Schranke $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gehört, dann nennt man $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ auch das Maximum von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und schreibt $\begin{eqnarray*} \max M \end{eqnarray*}$ .

Das Gegenstück von $\begin{eqnarray*} \sup \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \max \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \inf \end{eqnarray*}$ (Infimum, d.h. größte untere Schranke) und $\begin{eqnarray*} \min \end{eqnarray*}$ (Minimum).

Beispiel 1:

$\begin{eqnarray*} M = [0,1) \end{eqnarray*}$ (reelles Intervall von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ eingeschlossen, $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen)

Hier gilt: $\begin{eqnarray*} \inf M = \min M = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sup M = 1 \end{eqnarray*}$ . Das Maximum jedoch von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ existiert nicht.

Beispiel 2:

$\begin{eqnarray*} M = \left\{ 0 , \frac{1}{2} , - \frac{1}{2} , \frac{3}{4} , - \frac{3}{4} , \frac{7}{8} , - \frac{7}{8} , \ldots , \frac{2^n-1}{2^n} , - \frac{2^n-1}{2^n} , \ldots \right\} \end{eqnarray*}$

Was sind hier Infimum, Minimum, Supremum und Maximum von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ?

04.09.2013, 18:16

mengen

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@Leopold: Strenggenommen sind Funktionen nichts anderes als Mengen mit spez. Eigenschaften smile

04.09.2013, 18:19

laienstefan

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \sup \end{eqnarray*}$ bezeichnet nichts anderes als das Supremum. Strenggenommen wird es auf Mengen angewandt, nicht auf Funktionen. Und $\begin{eqnarray*} \sup M \end{eqnarray*}$ meint die kleinste obere Schranke $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ einer (reellen) Zahlenmenge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Wenn diese kleinste obere Schranke $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gehört, dann nennt man $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ auch das Maximum von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und schreibt $\begin{eqnarray*} \max M \end{eqnarray*}$ .

Das Gegenstück von $\begin{eqnarray*} \sup \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \max \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \inf \end{eqnarray*}$ (Infimum, d.h. größte untere Schranke) und $\begin{eqnarray*} \min \end{eqnarray*}$ (Minimum).

Beispiel 1:

$\begin{eqnarray*} M = [0,1) \end{eqnarray*}$ (reelles Intervall von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ eingeschlossen, $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen)

Hier gilt: $\begin{eqnarray*} \inf M = \min M = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sup M = 1 \end{eqnarray*}$ . Das Maximum jedoch von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ existiert nicht.

Vielen, vielen Dank für die schnelle Antwort! Ich verstehe bis hierher den Sachverhalt, finde allerdings die Bezeichnung kleinste obere Schranke äußerst irreführend. Von was ist es das kleinste und im Vergleich zu was?

Zitat:

Original von Leopold
Beispiel 2:

$\begin{eqnarray*} M = \left\{ 0 , \frac{1}{2} , - \frac{1}{2} , \frac{3}{4} , - \frac{3}{4} , \frac{7}{8} , - \frac{7}{8} , \ldots , \frac{2^n-1}{2^n} , - \frac{2^n-1}{2^n} , \ldots \right\} \end{eqnarray*}$

Was sind hier Infimum, Minimum, Supremum und Maximum von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ?

Hier machst du es mir schon schwieriger. Das Minimum ist 0, ein Infimum würde allerdings die Existenz eines Grenzwerts voraussetzen, und da das nur Punkte sind, weiß ich nicht, ob die überhaupt konvergieren können. Falls nein, gibt es kein Infimum.

Soweit ich weiß, konvergiert diese Folge gegen 1, das wäre dann wohl das Supremum (wie gesagt, wenn da nur Elemente aufgezählt sind, weiß ich nicht, ob man von Konvergenz sprechen kann). Da 1 aber erst im Unendlichen erreicht wird, ist sie kein Element der Menge und es gibt kein Maximum.

04.09.2013, 18:21

Leopold

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@ mengen

Dann schauen wir uns einmal die Funktion

$\begin{eqnarray*} f = \left\{ \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \left| \, y=x^2 \, \right. \right\} \end{eqnarray*}$

an. Was ist denn nun ihr Infimum und Supremum? verwirrt

04.09.2013, 18:27

mengen

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Ich verstehe nicht, was du damit sagen willst. Funktionen sind ja nichts anderes als Mengen. Ich habe nie behauptet, dass man auf allen Mengen eine sinnvolle Ordnung definieren kann smile

04.09.2013, 18:34

Leopold

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@ laienstefan

Bringe jetzt nicht Mengen und Folgen durcheinander. Supremum, Maximum, Infimum und Minimum werden auf Mengen angewandt, nicht auf Folgen.

Supremum heißt "kleinste obere Schranke". Gemeint ist von allen unendlich vielen oberen Schranken die kleinste.

Noch einmal $\begin{eqnarray*} M = [0,1) \end{eqnarray*}$ .

Hier ist $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , aber auch $\begin{eqnarray*} 12 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1046{,}7182818 \end{eqnarray*}$ und ...
Sobald man eine obere Schranke hat, ist jede noch größere Zahl erst recht eine obere Schranke.
$\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist auch eine obere Schranke, aber von allen oberen Schranken die kleinste.
Würdest du das bezweifeln und sagen: $\begin{eqnarray*} \gamma = 0{,}9936 \end{eqnarray*}$ ist eine noch kleinere obere Schranke von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , könnte ich dich sofort widerlegen, indem ich ein Element von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ angäbe, das oberhalb von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ liegt, z.B. $\begin{eqnarray*} x=0{,}99381 \end{eqnarray*}$ . Oder anders gesagt: Über jeder Zahl, die kleiner als $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist, findet man ein Element von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Daher ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ die kleinste obere Schranke von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

Und bei meinem zweiten Beispiel liegst du mit deinen Antworten ziemlich daneben. Erst einmal solltest du das mit der Folge vergessen. Das spielt im Moment gar keine Rolle. Es geht nur um die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Am einfachsten malst du dir $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ einmal am Zahlenstrahl auf. Dann erklärt sich alles fast von alleine.

04.09.2013, 18:39

Leopold

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Zitat:

Original von mengen
Ich verstehe nicht, was du damit sagen willst.

Nun ja, mit dem Blödsinn hast ja du angefangen. Ich habe nur weiter gemacht. Es war aus dem Kontext offensichtlich, daß ich von reellen Zahlenmengen ausgegangen war. Und dort kann man sinnvoll von Supremum und Infimum sprechen. Und mein Beispiel zeigt, daß man das bei Funktionen nicht kann. Es sind eben keine reellen Zahlenmengen.

04.09.2013, 18:48

laienstefan

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Zitat:

Original von Leopold
@ laienstefan

Bringe jetzt nicht Mengen und Folgen durcheinander. Supremum, Maximum, Infimum und Minimum werden auf Mengen angewandt, nicht auf Folgen.

Supremum heißt "kleinste obere Schranke". Gemeint ist von allen unendlich vielen oberen Schranken die kleinste.

Noch einmal $\begin{eqnarray*} M = [0,1) \end{eqnarray*}$ .

Hier ist $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , aber auch $\begin{eqnarray*} 12 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1046{,}7182818 \end{eqnarray*}$ und ...
Sobald man eine obere Schranke hat, ist jede noch größere Zahl erst recht eine obere Schranke.
$\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist auch eine obere Schranke, aber von allen oberen Schranken die kleinste.
Würdest du das bezweifeln und sagen: $\begin{eqnarray*} \gamma = 0{,}9936 \end{eqnarray*}$ ist eine noch kleinere obere Schranke von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , könnte ich dich sofort widerlegen, indem ich ein Element von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ angäbe, das oberhalb von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ liegt, z.B. $\begin{eqnarray*} x=0{,}99381 \end{eqnarray*}$ . Oder anders gesagt: Über jeder Zahl, die kleiner als $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist, findet man ein Element von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Daher ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ die kleinste obere Schranke von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

Auch jetzt behaupte ich wieder, bis hierhin sein alles klar. Ursprünglich habe ich wegen der Vorausetzung für gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge (sup|f_n(x)-f(x)| muss Nullfolge sein) gefragt, deswegen sehe ich jetzt wohl überall Folgen.
Da kommen wir auch schon zum zweiten Beispiel:

0 ist größte untere Schranke (Infimum) und gleichzeitig Minimum, weil die Null ein Element der Menge ist, da bleibe ich dabei (so ging ja die Argumentation bisher). Wie soll ich aber Angaben zum oberen Ende machen, wenn ich gar nicht weiß, wo das Intervall aufhört? Weil da nur Pünktchen sind, habe ich mit dem Extremwert angefangen.

04.09.2013, 19:03

Leopold

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$\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ kann unmöglich das Infimum sein, also die größte untere Schranke. Es ist ja nicht einmal eine gewöhnliche untere Schranke, denn die Elemente $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2}, - \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ usw. liegen ja alle unterhalb deiner vermeintlichen unteren Schranke.

Verstehst du meine Mengenschreibweise nicht? Ich wollte das nur eingängig notieren. Ich hätte ebenso gut

$\begin{eqnarray*} M = \left\{ \left. \, \frac{2^k-1}{2^k} \, \right| \, k \in \{ 0,1,2,\ldots \} \, \right\} \cup \left\{ \left. \, - \frac{2^k-1}{2^k} \, \right| \, k \in \{1,2,3,\ldots \} \, \right\} \end{eqnarray*}$

schreiben können, ohne auch nur das Geringste an der Situation zu ändern.
Ich glaube, deine Denkblockade ist immer noch die "Folgengeschichte"! Vergiß die Folgen, wir haben es hier nur mit Mengen, also gänzlich ungeordneten Systemen zu tun.

Und so etwas wie $\begin{eqnarray*} \sup_{x \in I} \left| f_n(x) - f(x) \right| \end{eqnarray*}$ ist nur eine Kurzschreibweise für $\begin{eqnarray*} \sup \left\{ \left. \, | f_n(x) - f(x) | \, \right| \, x \in I \, \right\} \end{eqnarray*}$ . Auch hier handelt es sich also um das Supremum einer Menge, nicht einer Funktion.

04.09.2013, 20:33

laienstefan

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ kann unmöglich das Infimum sein, also die größte untere Schranke. Es ist ja nicht einmal eine gewöhnliche untere Schranke, denn die Elemente $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2}, - \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ usw. liegen ja alle unterhalb deiner vermeintlichen unteren Schranke.

Ok klar, hier war ich einfach blind (größte untere Schranke bezieht sich übrigens auf den Betrag, oder?), aber hier:

Zitat:

Original von LeopoldIch hätte ebenso gut

$\begin{eqnarray*} M = \left\{ \left. \, \frac{2^k-1}{2^k} \, \right| \, k \in \{ 0,1,2,\ldots \} \, \right\} \cup \left\{ \left. \, - \frac{2^k-1}{2^k} \, \right| \, k \in \{1,2,3,\ldots \} \, \right\} \end{eqnarray*}$

schreiben können, ohne auch nur das Geringste an der Situation zu ändern.
Ich glaube, deine Denkblockade ist immer noch die "Folgengeschichte"! Vergiß die Folgen, wir haben es hier nur mit Mengen, also gänzlich ungeordneten Systemen zu tun.
.

Inwiefern ist die Menge denn beschränkt? k kann ja beliebig groß sein! Wenn du z.B. bei -7/8 aufgehört hättest mit der Aufzählung, wäre ja alles schön und gut. Aber das "..." deutet an, dass noch mehr Elemente folgen, nur weiß ich nicht, wie viele! - Was ist das betragsmäßig größte in der Menge enthaltene Element?

04.09.2013, 22:49

Leopold

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Zitat:

Original von laienstefan
Ok klar, hier war ich einfach blind (größte untere Schranke bezieht sich übrigens auf den Betrag, oder?)

Mit dem Betrag haben diese Begriffe nichts zu tun. Ich wiederhole mich:

SUPREMUM UND INFIMUM WERDEN AUF MENGEN ANGEWENDET.

Diese Mengen können wie immer auf alle mögliche Weisen erklärt werden.

Zitat:

Original von laienstefan
Inwiefern ist die Menge denn beschränkt? k kann ja beliebig groß sein! Wenn du z.B. bei -7/8 aufgehört hättest mit der Aufzählung, wäre ja alles schön und gut. Aber das "..." deutet an, dass noch mehr Elemente folgen, nur weiß ich nicht, wie viele! - Was ist das betragsmäßig größte in der Menge enthaltene Element?

Langsam glaube ich, daß dir auch der Begriff der Beschränktheit nicht klar ist. Das darfst du nicht mit Unendlichkeit verwechseln. Auch die Menge $\begin{eqnarray*} [0,1) \end{eqnarray*}$ enthält ja unendlich viele, sogar überabzählbar viele Elemente und ist trotzdem beschränkt.

Dagegen enthält die Menge

$\begin{eqnarray*} M = \left\{ \left. \, \frac{2^k-1}{2^k} \, \right| \, k=0,1,2,3,\ldots \, \right\} \cup \left\{ \left. \, - \frac{2^k-1}{2^k} \, \right| \, k=1,2,3,\ldots \, \right\} \end{eqnarray*}$

nur abzählbar viele Elemente, man könnte also sagen: weniger als das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1) \end{eqnarray*}$ . Sie besitzt natürlich trotzdem unendlich viele Elemente. Aber beschränkt ist sie auch. Oder kannst du mir ein Element der Menge nennen, das größer als $\begin{eqnarray*} 42 \end{eqnarray*}$ , oder eines, das kleiner als $\begin{eqnarray*} -4711 \end{eqnarray*}$ ist?

Warum malst du dir die Menge nicht einfach einmal auf? Ein Bild sagt manchmal mehr als tausend Worte ...

$\begin{eqnarray*} 0, \, \frac{1}{2}, \, - \frac{1}{2}, \, \frac{3}{4}, \, - \frac{3}{4}, \, \frac{7}{8}, \, - \frac{7}{8}, \, \frac{15}{16}, \, - \frac{15}{16}, \, \frac{31}{32}, \, - \frac{31}{32}, \, \ldots \end{eqnarray*}$

Was sind nun $\begin{eqnarray*} \inf M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sup M \end{eqnarray*}$ ? Das kann man doch der Zeichnung entnehmen.
$\begin{eqnarray*} \gamma = \sup M \end{eqnarray*}$ ist die kleinste obere Schranke von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Es darf also kein Element von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ oberhalb von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ liegen (Schrankeneigenschaft von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ). Aber wenn du $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ nur eine klitzekleine Idee verkleinerst, dann müssen schon Elemente von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ oberhalb liegen ("kleinste" obere Schranke). Finde solch ein $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ .

04.09.2013, 23:10

laienstefan

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Wenn du öfter mit Leuten wie mir zu tun hast, wird mir langsam klar, warum du "Wahnsinniger" genannt wirst! Wink

Vielleicht muss ich auch eine Nacht hier drüber schlafen, spätestens morgen melde ich mich nochmal.

Zuerst zum Betrag: Das bezog sich ja auf die größte untere, nicht obere Schranke. Denn wenn wir z.B. die Menge M={-1/2, -1/3, -1/4} haben, ist doch die "größte" untere Schranke, also das Infimum, das -1/2, oder? Denn kein Element der Menge liegt unterhalb dieser Schranke. Dabei ist -1/2 die kleinste der Zahlen (nur betragsmäßig die größte), weil sie ja negativ ist.

Natürlich hast du Recht, ich habe hier beschränkt im alltäglichen Sinne verwendeten.

Ich habe mir die Elemente aufgemalt und so wie erwartet ergibt sich ein immer dicker werdender "Wurm", wobei die obere Grenze gegen 1 und die Untere gegen -1 wächst. Dann ist mir jedoch immer noch nicht klar, was da jetzt eine Schranken sein sollen, insbesondere die Obere...Oder gibt es zwei?
Inf und gleichzeitig Minimum lese ich als -1/2 ab. Aber jetzt wieder meine sture Meinung: Wenn es hier unendlich viele Elemente gibt, kann ich mir nicht einfach eine endliche Zahl (bzw. 2) als obere Schranke(n) aussuchen, denn es wird immer noch größere in der Menge enthaltene Elemente geben. Und meine 1 von vorhin scheint ja falsch zu sein.
Sind meine Gedanken frei von jeglicher Logik?

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