1 + 1 ist keine Aussage?

05.09.2013, 08:43

Hannes T.

1 + 1 ist keine Aussage?

Warum ist 1 + 1 keine Aussage? Ich dachte das steht für +(1,1) bzw. +(1,1) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

05.09.2013, 09:10

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 1 + 1 ist keine Aussage?
Hallo Hannes,

1+1 kann weder wahr noch falsch sein, 1+1 ist einfach nur ein Ausdruck/Term.
Eine Aussage ist etwas wie
$\begin{eqnarray*} 1+1\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+1>-125 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+1=Katze \end{eqnarray*}$

Gruß
Reksilat

05.09.2013, 17:57

Hannes T.

Auf diesen Beitrag antworten »

@Reksilat: Vielen Dank für deine schnelle Antwort, trotzdem muss ich nochmal nachhaken da ich es leider noch nicht verstanden habe (was du schreibst ist richtig, genau das ist ja mein Verständnissproblem, vor allem die Symbolik bei Funktionen/Abbildungen in Verbindung mit der Frage, was ist (k)eine Aussage und warum nicht).

Mein bisheriger Kenntnisstand ist:

a + b steht für +(a,b) und das wiederum steht für +(a,b) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Daher ist 1 + 1 eine Aussage, da es nur eine andere Schreibweise von +(1,1) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist. Bitte korrigieren falls ich falsch liege (und wo genau).

Ich muss auch nochmal ganz explizit nachfragen: Das +(a,b) steht doch für ein Element aus dem Wertebereich oder? Und (a,b) für ein Element aus dem Definitionsbereich?

Ich checke halt nicht, warum etwas wie f(x) keine Aussage ist, weil ich mir immer vor Augen führe das x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Def ja auch eine Aussage ist, da müsste doch f(x)
$\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Werteb auch eine Aussage sein?

05.09.2013, 19:03

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hannes T.
Mein bisheriger Kenntnisstand ist:

a + b steht für +(a,b) und das wiederum steht für +(a,b) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Daher ist 1 + 1 eine Aussage, da es nur eine andere Schreibweise von +(1,1) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist. Bitte korrigieren falls ich falsch liege (und wo genau).

Nach welcher Konvention sollte das denn so sein? Beziehst du dich da auf spezielle Literatur? verwirrt

Was würdest du denn machen, wenn du $\begin{eqnarray*} +(e,\pi) \end{eqnarray*}$ hast? Und: was soll denn "1+1" als Aussage heißen?

05.09.2013, 19:06

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Reksilat sagte: Aussagen sind entweder als wahr oder falsch auswertbar.

Zitat:

a + b steht für +(a,b)

Das stimmt, ist hier aber nicht so wichtig.

Zitat:

und das wiederum steht für $\begin{eqnarray*} +(a,b) \in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht.

Das +(a,b) steht erstmal nur für ein Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
Die Aussage $\begin{eqnarray*} +(a,b)\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ dann wahr.

Mal angenommen +(a,b) stünde für das Element 17. Dann ist "17" ja auch nicht mit wahr oder falsch zu bewerten. 17 ist halt 17 und nicht wahr oder falsch.

05.09.2013, 19:09

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute mal, dass hier die Addition nur für natürliche (oder ganze) Zahlen definiert wurde.
Also $\begin{eqnarray*} +\colon\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N \end{eqnarray*}$

Das heißt nur, dass ein Tupel auf eine natürliche Zahl abgebildet wird. $\begin{eqnarray*} 1+1 \end{eqnarray*}$ ist eben eine natürliche Zahl. Die Aussage $\begin{eqnarray*} 1+1\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist damit nach Definition wahr (trivial), aber ist was anderes als $\begin{eqnarray*} 1+1 \end{eqnarray*}$ .

05.09.2013, 22:14

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Vermutung wiederum ist ja, dass die Verwendung von $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ missverstanden wird.
Streng genommen ist $\begin{eqnarray*} 1+1\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Aussage, aber das Anhängsel " $\begin{eqnarray*} \in\mathbb N \end{eqnarray*}$ " wird gerne mal als beschreibende Eigenschaft verwendet:
"Die Summe $\begin{eqnarray*} 1+1 \end{eqnarray*}$ ist das gleiche wie $\begin{eqnarray*} 2\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ "
ist dann zu lesen als
"Die Summe $\begin{eqnarray*} 1+1 \end{eqnarray*}$ ist das gleiche wie $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ , was ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist".
Insofern kann $\begin{eqnarray*} +(a,b) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} +(a,b)\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ stehen. Mit der genannten Interpretation wäre mit " $\begin{eqnarray*} +(a,b)\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ " dann nicht genau diese Aussage gemeint (dass $\begin{eqnarray*} +(a,b) \end{eqnarray*}$ ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ sei), sondernd das Objekt $\begin{eqnarray*} +(a,b) \end{eqnarray*}$ , über welches verraten wird, dass es ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ liegt.

Wie gesagt: Streng formal ist das falsch. Benutzt aber trotzdem eigentlich jeder und ist auch kein Problem. Wenn, dann höchstens in der Logik oder halt in den ersten Wochen.

05.09.2013, 23:08

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
...
aber das Anhängsel " $\begin{eqnarray*} \in\mathbb N \end{eqnarray*}$ " wird gerne mal als beschreibende Eigenschaft verwendet:

...

Insofern kann $\begin{eqnarray*} +(a,b) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} +(a,b)\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ stehen.

Spannend wird es dann aber spätestens bei:

$\begin{eqnarray*} +(+(a,b),c) \end{eqnarray*}$

Deshalb sollte man +(a,b) stets als das betrachten, was es ist: Das Element an sich. Dieses Beispiel ist noch sehr überschaubar. Es gibt aber auch Fälle, in denen das nicht mehr so leicht erkennbar ist.

06.09.2013, 00:07

Hannes T.

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für eure ausführlichen Antworten. Ich möchte noch darlegen warum mich die Symbolik von a + b in Zusammenhang mit "a + b ist keine Aussage" irritiert.

Wie ich bisher gelernt habe, ist eine Funktion nichts anderes als eine etwas speziellere Relation.

Nun kenne ich von der Relation die Zeichen ">" "<" "=" usw., also z.B. a > b, und diese Symbole einer Relation zeigen immer eine Aussage an.

Wenn aber bei der Funktion (die ja eine Relation ist) das Symbol "+" keine Aussage mehr darstellt, also a + b keine Aussage ist, irritiert mich das erstmal, auch deshalb meine Nachfrage.

06.09.2013, 00:45

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist $\begin{eqnarray*} + \colon \mathbb N^2 \to \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine dreistellige Relation $\begin{eqnarray*} + \subset \mathbb N^2 \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ , d.h. eine gültige Aussage ist z.B. $\begin{eqnarray*} +(1,1)2 \end{eqnarray*}$ (da $\begin{eqnarray*} +(1,1) := 1+1 = 2 \end{eqnarray*}$ ).

06.09.2013, 13:24

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

a<b ist keine Aussage, sondern eine Aussageform. 1<2 ist für natürliche Zahlen 1 und 2 eine (wahre) Aussage.
1+1 ist keine Aussage, sondern ein Term. 1+1=3 ist für natürliche Zahlen 1 und 3 eine (falsche) Aussage.

Eine Relation $\begin{eqnarray*} (M,R) \end{eqnarray*}$ ist keine Aussage, sondern eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} R\subset M\times M \end{eqnarray*}$ eines cartesischen Produkts.

06.09.2013, 13:39

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, man kann aus einer Relation $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ zwischen Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aber schon eine Aussageform machen, wenn man sagt:

$\begin{eqnarray*} xRy \end{eqnarray*}$ ist genau dann wahr, wenn $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R \end{eqnarray*}$ .

Genau das passiert ja bei dem Beispiel der kleiner-Relation.

Warum das aber 1+1 trotzdem nicht zu einer Aussage macht, hat zweiundvierzig ja schon erklärt.

06.09.2013, 14:36

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das sage ich doch, oder nicht ? Eine Relation ist eine Aussageform, eine Relation ist keine Aussage.
Damit wollte ich Hannes T. widerlegen, der glaubt: "eine Relation ist eine Aussage, also ist eine Funktion eine Aussage".

06.09.2013, 15:02

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis
Eine Relation ist generell noch nicht mal eine Aussageform, erst recht keine Aussage, sondern nur eine Menge. Man kann aber bestimmte Aussageformen als Relationen auffassen.

06.09.2013, 16:12

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, danke. Deshalb habe ich genau das in meinem vorletzten Beitrag gesagt:
"Eine Relation ist keine Aussage, sondern eine Teilmenge eines cartesischen Produkts."

29.10.2013, 20:49

Katja Berold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, was denn nun? Ist eine Relation (z.B. ">") eine Aussage oder nicht? 1 > 2 stellt eine Relation dar und ist meines Wissens eine Aussage?!

Es ist zwar nicht ganz genau das Thema, aber könntet ihr Aussage zu Definition abgrenzen? Also so etwas wie 1 = 2 kann ja auch eine Definition sein, rein symbolisch betrachtet.

29.10.2013, 21:00

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst bei $\begin{eqnarray*} 1<2 \end{eqnarray*}$ nicht von einer Relation sprechen, denn nur $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ selbst ist die Relation, die Kleiner-Relation. Das Paar $\begin{eqnarray*} (1,2) \end{eqnarray*}$ ist lediglich ein "Mitglied" dieser Relation, wofür man $\begin{eqnarray*} (1,2) \in < \end{eqnarray*}$ schreiben könnte, wenn es nicht so wüst aussähe, weshalb man auch $\begin{eqnarray*} 1<2 \end{eqnarray*}$ schreibt. Und wenn du $\begin{eqnarray*} 1<2 \end{eqnarray*}$ so auffaßt, nämlich daß $\begin{eqnarray*} (1,2) \end{eqnarray*}$ Mitglied der Kleiner-Relation ist, dann ist $\begin{eqnarray*} 1<2 \end{eqnarray*}$ auch eine Aussage. Die Relation $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ selbst ist jedoch keine Aussage, sondern nur eine Ansammlung von Paaren, die eben gerade die Relation ausmachen.

30.10.2013, 18:47

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

1<2 und 1=2 sind zwei falsche Aussagen, wenn 1 und 2 natürliche Zahlen sind. Eine Aussage ist eine sinnvolle mathematische Zeichenfolge, die den mathematischen Wahrheitswert wahr oder falsch haben kann.
Aussagen sind weder Definitionen noch Relationen. Eine Definition benennt und erklärt einen Begriff, eine Relation ist eine Teilmenge eines cartesischen Produkts.

31.10.2013, 16:23

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
1<2 und 1=2 sind zwei falsche Aussagen

Manchmal ist 1<2 aber auch wahr. Augenzwinkern