Parameter bestimmen, so dass Funktion stetig ist |
| 05.09.2013, 11:19 | Julek | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Parameter bestimmen, so dass Funktion stetig ist Ich schreib Ende des Monats ne wichtige Matheklausur... Meine letzte Chance-.- also bitte ich Euch um Hilfe bei folgender Aufgabe: Bestimme die Parameter a<=0 und b>=0 so, dass f stetig ist F(x) = ax^3 + bx^2 + b für |x-1|<=1 ax^2 + 1/2b^2x + a + 3 für |x-1|>1 Meine Ideen: Die Betragsstriche verwirren mich immer gleich. Muss ich die Parameter über die Grenzwerte berechnen? Aber wo bekomme ich mein x0 her? Snd für die Begrenzungen die Mengen x?[1;2] und x?]2; unendlich[ richtig? |
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| 05.09.2013, 11:34 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Beträge kann man leicht auflösen, weil gilt: bzw. Rechne dies nun mit x-1 anstatt x und 1 anstatt a |
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| 05.09.2013, 12:53 | Julek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok also dann: -1 <= x-1 <= 1 x-1 > 1 und x-1< -1 Und die Parameterberechnung? |
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| 05.09.2013, 13:13 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Ungleichungen sind ja noch nicht fertig, daraus ist nun der Definitionsbereich zu erstellen. Einen davon hast du schon genannt, ]2; unendlich[, aber es fehlen noch die anderen. Zu den Parametern. Es handelt sich um ganzrationale Polynome, diese haben - wenn nicht anders angegeben - keine Definitionslücken. Was kann deshalb über die Stetigkeit ausgesagt werden? mY+ |
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| 05.09.2013, 13:19 | Julek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich hab mal was versucht: - -1 in die zweite Funktion einsetzen: F2(-1)= a- 1/2b^2 + a+ 3 -> mit erster Funktion gleichsetzen: 2a- 1/2b^2 +3= -a + 2b - 1 in zweite Funktion einsetzen F2(1)= a+ 1/2b^2 +a+ 3 -> mit erster Funktion gleichsetzen: 2a+ 1/2b^2 +3= a+ 2b -1/2b^2 + 2b -3 =a Über pq-Formel Darf ich die überhaupt so verwenden?? a1= 1 nicht möglich, da a<= 0 sein muss a2= -3 - a einsetzen -6 - 1/2b^2 + 3 = 3+ 2b -1/2 b^2 -2b = 6 b(-1/2b - 2)= 6 b1= 0 b2= -16 nicht möglich, da b>= 0 Also wären mein Ergebnisse a=-3 und b=0 |
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| 05.09.2013, 13:24 | Julek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei x-1<1 wär es dann ]- unendlich;2[ Und bei -1<=x-1<=1 [0;2] ? Das würde dann bedeuten, dass die Funktion überall differenzierbar, also stetig ist |
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| 09.09.2013, 00:42 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Polynomfunktionen an sich sind natürlich überall stetig, da aber zwei verschiedene Funktionsterme über verschiedene Definitionsbereiche gegeben sind (--> abschnittsweise definierte Funktion), müssen die Funktionswerte an jenen Stellen übereinstimmen, an denen die Definitionsbereiche aneinandergrenzen. Das ist bei x = 0 und x = 2 der Fall. Du hast die Definitionsintervalle noch immer nicht vollständig angegeben, teilweise stimmen sie. Für die Differenzierbarkeit ist zwar die Stetigkeit Voraussetzung, die Differenzierbarkeit muss aber dabei keineswegs gegeben sein, denn diese folgt nicht aus der Stetigkeit (wohl aber umgekehrt die Stetigkeit aus der Differnzierbarkeit). Dein Resultat stimmt auch nicht, du hast offensichtlich die quadratische Gleichung nicht richtig gelöst. Die quadratische Gleichung hat als Lösungen a1 = 3, a2 = - 1, sodass nur a = -1 und (mit b = a + 3) b = 2 in Frage kommen. Zur Veranschaulichung: Im Graphen ist für negative x-Werte nur die blaue Kurve gültig. Du siehst zum Beispiel deutlich, dass bei x = 0 die Funktion zwar stetig, aber nicht differenzierbar ist. mY+ |
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