Beweis Mengenlehre

05.09.2013, 13:26

Cipolla

Beweis Mengenlehre

Hallo ,

da ich nicht wirklich weiß in welchen Bereich das gehört, poste ich es einfach mal hier hin. Ich besuche momentan einen Vorkurs für Mathematik an der Uni ( finde aber das Thema bzw das Verständnis der Mengenlehre als zu trivial um es in den Bereich der Hochschulmathematik zu schreiben). Folgender Beweis soll erbracht werden bzw wir sollen aufzeigen das folgendes gilt:

[attach]31369[/attach]

Meine Beweisführung sieht folgendermaßen aus:

Erstmal die Definitionen der Teilmenge und des Komplements aufgeschrieben

[attach]31370[/attach]

Dann die Schlussfolgerung, die sich daraus ergibt:

[attach]31371[/attach]

daraus folgt dann letztlich die Ausgangslage

[attach]31369[/attach]

Das ist der erste Beweis den wir auf diese Art und Weise liefern sollen und ich wollte wissen ob das formal und inhaltlich so einigermaßen korrekt ist oder ob es überhaupt logisch korrekt ist.

Danke für eure Hilfe Freude

edit: Ich sehe gerade das meine Anhänge teilweise so komisch schwarz aussehen, einfach draufklicken, dann seht ihr die Ausdrücke ganz normal.

05.09.2013, 14:29

Guppi12

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Hallo,

normalerweise heißt der senkrechte Strich "mit der Eigenschaft", also $\begin{eqnarray*} \{x|x\in A\} \end{eqnarray*}$ würde bedeuten: "Die Menge der x, mit der Eigenschaft, dass x in A liegt". Was der mehrfache Strich allerdings heißen soll, erschließt sich mir nicht. Habt ihr das wirklich im Vorkurs so aufgeschrieben?

05.09.2013, 14:33

Cipolla

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Ja der Tutor hat es irgendwie so aufgeschrieben, aber ich habe mir schon gedacht das es nicht richtig ist, weil es in der Vorlesung nicht vorkam. Dann sollte ich das durch Kommas ersetzen..

05.09.2013, 14:47

Guppi12

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Ok,

Kommata wären schon besser, das würde man dann als UND-Verknüpfung lesen, also dass alle Aussagen, die durch Kommata getrennt sind, gleichzeitig für ein x erfüllt sein müssen, damit es tatsächlich in der betrachteten Menge liegt.

Ganz korrekt benutzt man UND( $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ ) und ODER( $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ ).

Dann haben wir also $\begin{eqnarray*} A^C := \{x | x\not\in A \wedge x\in B\} = \{x\in B~|~ x\not\in A\} \end{eqnarray*}$

Diese Definition hingegen macht auch keinen Sinn:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A\subseteq B := \{x|x\in A \wedge x\in B\} \end{eqnarray*}$

, denn links steht eine Aussage (diese kann wahr oder falsch sein, sie ist genau dann wahr, wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ganz in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ liegt) und rechts steht einfach eine Menge, nämlich genau die Schnittmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ .

Außerdem hierzu:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A\cup B := \{x|x\in A|x\in B\} \end{eqnarray*}$

: Lesen wir den Strich als UND, so steht hier wieder die Schnittmenge von A und B, nicht deren Vereinigung. Für die Vereinigung, musst du das UND durch ein ODER ( $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ ) ersetzen.

Möchtest mit diesen Informationen den Beweis nochmal versuchen?
Hast du noch Fragen?

05.09.2013, 15:47

Cipolla

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Ja die Teilmengen Definition war quatsch, das habe ich im Nachhinein auch gemerkt verwirrt

Mein Beweis sieht jetzt, nach deinen Tipps, wie folgt aus:

"Wenn wir $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ betrachten so gilt per Definition, dass alle Elemente aus A auch in B vorhanden sein müssen. Weiterhin soll gelten $\begin{eqnarray*} A^C := \left\{ x | x \notin A \wedge x \in B \right\} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} A \cup A^C := \left\{x \in A \vee x \in B \right\} \end{eqnarray*}$ "

da $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ gilt, ist also

$\begin{eqnarray*} A \cup A^C = \left\{ x \in B\right\}= B \end{eqnarray*}$ "

05.09.2013, 16:04

Guppi12

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Das stimmt so noch nicht,

Hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A \cup A^C := \left\{x \in A \vee x \in B \right\} \end{eqnarray*}$

müsste eigentlich stehen(den Doppelpunkt verwendet man eigentlich nur, wenn etwas gerade in diesem Moment neu definiert wird, danach verwendet man ein einfaches Gleichheitszeichen):

$\begin{eqnarray*} A \cup A^C = \left\{x~|~x \in A \vee x \in A^C \right\} \end{eqnarray*}$

Damit wird das aber hinten sehr unübersichtlich. Normalerweise zeigt man eine Mengengleichheit, indem man beide Inklusionen zeigt, also in dem Fall wären 2 Sachen zu zeigen:

1. $\begin{eqnarray*} A\cup A^C \subseteq B \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} B \subseteq A\cup A^C \end{eqnarray*}$ .

Eine Inklusion wird dabei wie folgt gezeigt:
Man nimmt sich ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der ersten Menge und zeigt, dass es dann auch schon in der anderen Menge liegen muss. Ich zeige es dir mal anhand der 1. Aussage:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in A\cup A^C \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x\in A^C \end{eqnarray*}$ . Gilt $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ . Gilt $\begin{eqnarray*} x\in A^C \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} x\notin A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ , also ebenfalls $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ . Damit ist 1. gezeigt. Versuchst du dich an 2.?

05.09.2013, 16:27

Cipolla

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Sei $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ . Gilt $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \in A^C \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} x \notin A \wedge x \in B \end{eqnarray*}$

05.09.2013, 16:37

Guppi12

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Hmm, das würde ich so nicht durchgehen lassen. In der Mathematik muss man sehr exakt sein. Schreibe das mal Schrittweise auf.

Warum folgt aus $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ ?

Der Schritt funktioniert nur umgekehrt. Aus $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ . Das hilft aber hier nicht wirklich weiter Augenzwinkern

05.09.2013, 16:43

Cipolla

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Es folgt daraus das $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ ist oder eben $\begin{eqnarray*} x \in A^C \end{eqnarray*}$ . Deswegen das "oder" dahinter.

05.09.2013, 16:47

Guppi12

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Ok, das schreibt man dann anders auf. Im Prinzip unterscheidest du hier ja, ob $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x\notin A \end{eqnarray*}$ liegt. Das schreibt man dann auch so:

Fall1: $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ :
Es folgt sofort $\begin{eqnarray*} x\in A\cup A^C \end{eqnarray*}$ .

Fall2: $\begin{eqnarray*} x\notin A \end{eqnarray*}$ :
Damit und mit $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x\not\in A \wedge x\in B \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x\in A^C \end{eqnarray*}$ , also ...

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