Orthonormalbasis

05.09.2013, 16:44

küb

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Orthonormalbasis

Meine Frage:
Hey Leute,

könnte mir vllt jemand bei folgender Aufgabe behilflich sein:

$\begin{eqnarray*} p = p_2*x^2 + p_1*x+p_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q= q_2*x^2 + q_1*x + q_0 \end{eqnarray*}$ bezeichnen Polynome in $\begin{eqnarray*} \mathbb R _{\leq 2}[x] \end{eqnarray*}$

Gegeben sei das Skalarprodukt
$\begin{eqnarray*} \langle p,q \rangle = 2p_2q_2 + p_1q_1 + p_1q_0 + p_0q_1 + 2p_0q_0 \end{eqnarray*}$

sowie die Basis $\begin{eqnarray*} B = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} b_1, b_2, b_3 \end{eqnarray*}$ } des $\begin{eqnarray*} \mathbb R _{\leq 2}[x] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_1 = \frac{1}{\sqrt{2} } *x^2, b_2= x-1, b_3=x \end{eqnarray*}$

(Dass es sich um ein Skalarprodukt und eine Basis handelt, muss nicht gezeigt werden.)

Zeigen Sie, dass B eine Orthonormalbasis bzgl. $\begin{eqnarray*} \langle p,q \rangle \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb R _{\leq 2}[x] \end{eqnarray*}$ ist.

Wir hatten gegeben:

Eine Basis B ist bzgl. eines Skalarproduktes eine Orthonormalbasis, wenn

$\begin{eqnarray*} \langle b_i,b_j \rangle = 1 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} i=j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \langle b_i,b_j \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$

Ich dachte, ich kann jetzt einfach z.B.

$\begin{eqnarray*} b_1 * b_2 = (\frac{1}{\sqrt{2} } *x^2) * (x-1) \end{eqnarray*}$ berechnen und schauen, ob es = 0 ist, aber was ist denn mit dem x? Das bleibt ja immer in meinem Ergebnis stehen..

Meine Ideen:

05.09.2013, 16:49

watcher

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Hallo,

Zitat:

Eine Basis B ist bzgl. eines Skalarproduktes eine Orthonormalbasis, wenn $\begin{eqnarray*} \langle b_i,b_j \rangle = 1 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} i=j \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \langle b_i,b_j \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$

das ist richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} b_1 * b_2 = (\frac{1}{\sqrt{2} } *x^2) * (x-1) \end{eqnarray*}$ berechnen und schauen, ob es = 0 ist, aber was ist denn mit dem x? Das bleibt ja immer in meinem Ergebnis stehen..

Was hat denn das Produkt der Polynome mit der Aufgabe zu tun? geschockt

geschockt

Rechne die von dir aufgeführte Definiton nach.

05.09.2013, 17:00

küb

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Ich dachte irgendwie $\begin{eqnarray*} \langle b_1,b_2 \rangle = b_1*b_2 \end{eqnarray*}$

Ich weiß gerade irgendwie nicht mehr, wie ich das Skalarprodukt berechne geschockt

geschockt

Wir hatten das nur mit Vektoren..
Und jetzt steht da $\begin{eqnarray*} \langle (\frac{1}{\sqrt{2} } *x^2) , (x-1)\rangle \end{eqnarray*}$

05.09.2013, 17:05

watcher

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Zitat:

Gegeben sei das Skalarprodukt
$\begin{eqnarray*} \langle p,q \rangle = 2p_2q_2 + p_1q_1 + p_1q_0 + p_0q_1 + 2p_0q_0 \end{eqnarray*}$

05.09.2013, 17:19

küb

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Ich glaube, ich habe irgendwas falsch gemacht verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \langle b_1,b_2 \rangle = 2* \frac{1}{\sqrt{2} } *2^2 * (2-1) + \frac{1}{\sqrt{2} } *1^2 * (1-1) + \frac{1}{\sqrt{2} } *1^2 * (0-1) +2* \frac{1}{\sqrt{2} } *0^2*(1-1)+ 2* \frac{1}{\sqrt{2} } *0^2* (0-1) \end{eqnarray*}$

05.09.2013, 17:23

watcher

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Ja, ich hab wiederum keine Ahnung was das soll. (relativ unkommentiertes Hinklatschen von Termen ist sehr hilfreich bei der Suche nach Verständnis)

Was bedeutet denn in der Def. dieses Skalarprodukts z.B. $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Jetzt hab ich ne Idee was du für einen Unfug treibst.
$\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} p(0) \end{eqnarray*}$ .
Eigentlich sind beide Notationen verschieden genug...

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05.09.2013, 17:25

küb

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Ich hab jetzt für p_0 z.B. eingesetzt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} } *0^2, \end{eqnarray*}$

05.09.2013, 17:33

watcher

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Wie im Edit bereits gesagt:
$\begin{eqnarray*} p_0\neq p(0) \end{eqnarray*}$

Auch hier zitiere ich wieder die von dir abgegebene Aufgabenstellung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p = p_2*x^2 + p_1*x+p_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q= q_2*x^2 + q_1*x + q_0 \end{eqnarray*}$ bezeichnen Polynome in $\begin{eqnarray*} \mathbb R _{\leq 2}[x] \end{eqnarray*}$

Etwas Konzentration bitte.
Vielleicht hilft es auch eine Pause zu machen.

05.09.2013, 17:42

küb

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Ich würde jetzt statt <p,q> <b1,b2> einsetzen, aber ich komme irgendwie nicht darauf, was dann aus dem p_2, p_1 und p_0 werden soll..

05.09.2013, 17:50

watcher

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$\begin{eqnarray*} p= \color{red}{p_0} \color{black} x^2 + \color{green}{p_1} \color{black} x+ \color{blue}{p_0} \color{black} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1= \color{red}{?} \color{black} x^2 + \color{green}{?} \color{black} x+ \color{blue}{?} \color{black} \end{eqnarray*}$

05.09.2013, 17:52

küb

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Sry, ich meinte: $\begin{eqnarray*} p_2 = \frac{1}{\sqrt{2} } , p_1 = 0, p_0=0 \end{eqnarray*}$

05.09.2013, 17:53

watcher

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Und jetzt einsetzen.

P.S. Das ist hier Hochschulmathematik. Da solltest du auch ein paar Schritte selber machen.

05.09.2013, 18:01

küb

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Tut mir Leid, ich bin noch neu in der Hochschulmathematik, darum fällt mir vieles schwer unglücklich

unglücklich

Ich habe jetzt eingesetzt und <b1,b2>, <b1,b3> und <b2,b3> untersucht und komme auf 0, was ja bedeutet, dass B eine Orthonormalbasis ist.

05.09.2013, 18:03

watcher

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Hast du auch die erste Bedingung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \langle b_i,b_j \rangle = 1 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} i=j \end{eqnarray*}$

überprüft?

05.09.2013, 18:07

küb

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Trifft auch zu smile

smile

05.09.2013, 19:23

Kathi_R

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Hey,

ich bin ja nun auch soweit mitgekommen.

Aber ich hab wieder mal noch eine Frage...
Wie berechne ich denn nun die Abbildungsvorschrift der Koordinatenabbildung $\begin{eqnarray*} K_B \end{eqnarray*}$ ?

Gegeben habe ich ein Skalarprodukt und eine Orthonormalbasis mit 3 Basisvektoren.

Was wird denn eigentlich gefragt?
Meine Polynome werden mit einer Abbildungsvorschrift auf etwas anderes abgebildet. Aber ist das nicht genau diese gegebene Vorschrift des Skalarprodukts? Dort wird doch beschrieben, was ich mit den Polynomen machen soll.

06.09.2013, 11:37

watcher

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@Kathi_R:
Neue Frage, neuer Thread.
Dann kriegst du auch mehr potentielle Helfer und die Threads bleiben halbwegs lesbar.

Und so wie deine Frage gestellt ist frage ich mich auch was gefragt ist.
Bitte die Aufgabenstellung vollständig wiedergeben.

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