Green Funktion mit Neumann Bedingung

05.09.2013, 16:46	eey	Auf diesen Beitrag antworten »
Green Funktion mit Neumann Bedingung Hallo zusammen, ich benötige für die Lösung eines Problems eine Green Funktion für den Differentialoperator $\begin{eqnarray} <br /> L = \partial_x^2 + \partial_y^2<br /> \end{eqnarray}$ Auf Wikipedia gibt es dafür ja eine Tabelle laut welcher die Green Funktion für diesen Differentialoperator folgende ist: $\begin{eqnarray} <br /> G(x, y) = \frac{1}{2\pi}\ln(\sqrt{x^2 + y^2})<br /> \end{eqnarray}$ Allerdings benötige ich die Green Funktion mit Neumann Bedingungen und nicht mit Dirichlet Bedingungen wie bei Wikipedia angegeben. Leider konnte ich auch nach längerer Suche keine solche Tabelle finden, daher meine Frage: Weiß jemand wo es solche Tabellen gibt oder kennt jemand vielleicht die passende Green Funktion? Schöne Grüße, eey
06.09.2013, 12:27	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe auf die Schnelle auch nichts in der Literatur gefunden. Aber vielleicht hilft dir folgendes: ---------------- Physikalisch kann man die gesuchte Greensche Funktion als Lösung des folgenden Problems auffassen: Gegeben sei ein dünnes Blech, das an der Ober- und Unterseite ideal wärmeisoliert sei. Nur durch den Rand des Bleches geht Wärmeenergie verloren. Innerhalb des Bleches sei eine Wärmequelle versteckt (z.B. ein Heizdraht), welche durch die Funktion f(x,y) beschrieben wird. Gesucht ist die stationäre Temperaturverteilung T(x,y), die sich nach langer Zeit einstellt. Dieses Problem wird durch die 2-dimensionale Poissongleichung mit Neumannscher Randbedingung beschrieben, also $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\tfrac{\partial^2 T}{\partial y2}=-\tfrac{1}{v}\cdot f(x,y) \end{eqnarray}$ Randbedingung: $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial T}{\partial \vec n}=c \end{eqnarray}$ Die Randbedingung besagt, dass durch die Randkurve eine feste Energiemenge c mit der Dimension $\begin{eqnarray} \tfrac{\text{Energie}}{\text{Länge x Zeit}} \end{eqnarray}$ abgesaugt wird (senkrecht zur Randkurve, aber parallel zur Fläche des Bleches). Der feste Parameter v spiegelt die Wärmeflusseigenschaften des Materials wider. Mein Tipp zur Gewinnung der Greenschen Funktion: Löse diese Aufgabe mit der Fourrierschen Methode oder mittels Fourriertransformation. Diese Lösung ist ein Integral. Innerhalb dieses Integrals ersetze die Quell-Funktion f(x,y) durch die Deltafunktion $\begin{eqnarray} \delta(x-x_0,y-y_0) \end{eqnarray}$ . Danach kann man über die Deltafunkion formal integrieren und erhält als Ergebnis die gesuchte Greensche Funktion. Physikalisch ist die Greensche Funktion nämlich die Temperaturverteilung für eine punktförmige (nicht flächenhafte) Wärmequelle am Punkt $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \end{eqnarray}$ .
08.09.2013, 15:46	eey	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Danke schon mal für die ausführliche Antwort. Die Rechnung ist schon recht schwierig, hab nach langer Recherche doch noch eine Quelle mit einer herleitung gefunden. Nach dieser ist die gesuchte Green Funktion: $\begin{eqnarray} <br /> G(x,y,x_0,y_0)=\frac{1}{4 \pi} \ln(((x-x_0)^2 +(y-y_0)^2)((x-x_0)^2+(y+y_0)^2))<br /> \end{eqnarray}$ Soweit so gut, aber wie bestimme ich das x_0 und das y_0? Und vor allem, was mache ich mit der Definitionslücke an der Stelle? Ich will ja letztendlich eine andere Funktion mit G falten, aber das haut ja nicht hin wenn G an einer Stelle gegen unendlich geht... Wo ist hier der Denkfehler? Schöne grüße, eey
09.09.2013, 12:57	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt: Die Greesche Funktion $\begin{eqnarray} G(x-x_0,y-y_0) \end{eqnarray}$ ist die Lösung der Dgl. $\begin{eqnarray} \Delta G=-\delta(x-x_0,y-y_0) \end{eqnarray}$ . In meinem Beispiel ist G gerade diejenige Temperaturverteilung, welche sich bei punktförmige Temperaturquelle einstellt (wenn man also mit einer heißen Nadel irgendeinen Punkt $\begin{eqnarray} (x_0;y_0) \end{eqnarray}$ des Gebietes berührt. Dieser Punkt $\begin{eqnarray} (x_0;y_0) \end{eqnarray}$ ist frei wählbar und muss nicht bestimmt werden. Übrigens darf die Greensche Funktion (hier die Temperatur) an der Stelle $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \end{eqnarray}$ unendlich werden. Kennt man die Greensche Funktion, so kann man damit sofort die Temperaturverteilung für beliebige augedehnte Temperaturquellen f(x,y) angeben, also die Lösung der Dgl. $\begin{eqnarray} \Delta T=-f(x,y) \end{eqnarray}$ . Dies ist die Faltung $\begin{eqnarray} T(x,y)=\int G(x-x_0,y-y_0)\cdot f(x_0,y_0) dx_0dy_0 \end{eqnarray}$ Das ist der Witz der Sache und das macht die Greensche Funktion so wertvoll. Kennt man $\begin{eqnarray} G(x-x_0,y-y_0) \end{eqnarray}$ , weiß man alles über die Dgl. Die Faltung kann man physikalisch als Überlagerung vieler punktförmiger, dicht benachbarter Wärmequellen mit der lokalen Intensität $\begin{eqnarray} f(x_0,y_0) \end{eqnarray}$ interpreteieren, welche insgesamt die gleiche Wirkung haben wie die flächenhaft ausgedehte Quelle f(x,y).
09.09.2013, 14:50	eey	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ok das mit dem Punkt $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \end{eqnarray}$ hab ich jetzt verstanden... Mein Problem ist aber immer noch diese Singularität, da wenn ich das Ganze implementiere dann nichts brauchbares rauskommt. Mal folgendes Beispiel: ich habe (irgendeine) zweidimensionale Funktion $\begin{eqnarray} f(x, y) \end{eqnarray}$ zu der ich $\begin{eqnarray} T(x, y) \end{eqnarray}$ numerisch mittels Faltung mit der Green Funktion ausrechnen will. Dazu betrachte ich jetzt folgende Werte: $\begin{eqnarray} x \in [0, 10], \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y \in [0, 10], \end{eqnarray}$ mit jeweils irgendeiner diskreten Schrittweite, zb 0.1. Dann ist ja: $\begin{eqnarray} x \in \{0, 0.1, 0.2, 0.3, ..., 9.8, 9.9, 10.0\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y \in \{0, 0.1, 0.2, 0.3, ..., 9.8, 9.9, 10.0\} \end{eqnarray}$ Jetzt sagen wir ich lege meine Temperaturquelle genau in die Mitte des Definitionsbereichs, also $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) = (5, 5) \end{eqnarray}$ . Wenn ich jetzt die Faltung bestimme habe ich in meiner Ergebnismatrix ungültige Werte (da Logarithmus von 0). Das kann nicht Sinn der Sache sein, oder?
09.09.2013, 16:03	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wichtig ist, dass du über die Variablen $\begin{eqnarray} (x_0;y_0) \end{eqnarray}$ integrierst, nicht über die Variablen (x;y), also $\begin{eqnarray} T(x,y)=\int G(x-x_0,y-y_0)\cdot f(x_0,y_0)\,\,dx_0dy_0 \end{eqnarray}$ Dabei ist (x,y) der feste (aber beliebige) Punkt, wo du die Temperatur wissen willst. Dagegen sind die $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \end{eqnarray}$ diejenigen Punkte, wo die nadelförmigen Temperaturquellen sitzen. Über letztere muss man summieren(=integrieren)! Wenn du beim Integrieren über die Singularität Probleme hast, ist dies eher ein Problem der Programmierung - kein Problem der Mathematik. -------------------- Ich gebe dir noch ein anderes Beispiel aus der Physik: Das Potential einer Punktmasse am Ort $\begin{eqnarray} (x_0,y_0,z_0) \end{eqnarray}$ nimmt bekanntlich umgekehrt proportional zum Abstand ab und lautet $\begin{eqnarray} G(x-x_0;y-y_0,z-z_0)=\tfrac{1}{4\pi}\tfrac{1}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}} \end{eqnarray}$ Dies ist gerade die die Greensche Funktion für die Poissongleichung, also die Lösung von $\begin{eqnarray} \Delta G=-\delta(x-y_0,y-y_0,z-z_0) \end{eqnarray}$ mit punktförmiger Masse m=1. Offenbar ist G an dem Punkt singulär, wo der Massepunkt sitzt. Hat man keine einzelne Punktmasse, sondern eine Massewolke mit der Dichteverteilung $\begin{eqnarray} \rho(x,y,z) \end{eqnarray}$ , so ist deren Potenzial $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ die Lösung der Dgl. $\begin{eqnarray} \Delta \phi=-\rho (x,y,z) \end{eqnarray}$ . Das ist die bekannte Formel $\begin{eqnarray} \phi(x;y)=\tfrac{1}{4\pi}\int \tfrac{\rho(x_0,y_0,z_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}}\,\,dx_0dy_0dz_0 \end{eqnarray}$ Das ist wiederum die bekannte Faltung.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »