Newton-Cotes-Formel

01.03.2007, 15:04	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
Newton-Cotes-Formel Es geht um die Herleitung der abgeschlossenen Newton-Cotes Formeln: Ich habe eine Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ gegeben, dann ist jedes x darstellbar als $\begin{eqnarray} x = a + i \cdot H = a + i \cdot \frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i = 0,...,n \end{eqnarray}$ Die Gewichte der Newton Cotes Formeln berechnet man ja aus dem Lagrangeschen Interpolationspolynom. Man erhält also: $\begin{eqnarray} L_i^{(n)} (x) = \prod\limits_{i=0}^n \frac{t-j}{i-j} \end{eqnarray}$ Die Gewichte sind also gegeben durch: $\begin{eqnarray} \alpha_i = \int_{b}^{a}~L_i^{(n)}(x)~dx \stackrel{\star}{=} H \cdot \int_{n}^{0} \prod\limits_{i=0}^n \frac{t-j}{i-j} dt \end{eqnarray}$ Meine frage nun zum Schritt beim Stern. Wie wurden dort die Integralgrenzen geändert und das H reingeschoben?
01.03.2007, 20:36	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, ich weiß zwar nicht, wie du auf dieses i.te Lagrange Basispoly $\begin{eqnarray} L_i(x) \end{eqnarray}$ kommst ... ?? aber mit diesem hier funktionierts: $\begin{eqnarray} \alpha_i = \int_{a}^{b}~L_i^{(n)}(x)~dx = \int_{a}^{b} \prod\limits_{j=0,j \not=i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j} dx \end{eqnarray}$ substituiere nun: $\begin{eqnarray} x= a + t H \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dx = H dt \end{eqnarray}$ dann folgt für die grenzen wegen $\begin{eqnarray} t(x)= \frac{x-a}{H} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t(a) = 0, t(b) = \frac{b-a}{H}=n \end{eqnarray}$ und eingesetzt: $\begin{eqnarray} \alpha_i= H \int_{0}^{n} \prod\limits_{j=0,j \not=i}^n \frac{a+tH-a-jH}{a+iH-a-jH} dt= H \int_{0}^{n} \prod\limits_{j=0,j \not=i}^n \frac{t-j}{i-j} dt \end{eqnarray}$ d.h. das H kommt vom substituieren, ebenso wie die neuen grenzen. hoffe das hilft dir weiter! viele grüße kingskid

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