Koordinatenvektor

05.09.2013, 18:42	Kathi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatenvektor Hey, ich habe ein Problem mit den Koordinatenvektoren und Basisvektoren. Die Aufgabenstellung ist Folgende: Wir betrachten $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die Basis $\begin{eqnarray} B = \begin{cases} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{cases} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} \vec{x} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ bezeichnet $\begin{eqnarray} \vec{x}_B := K_B(\vec{x}) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ den Koordinatenvektor von $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ bezüglich der Basis B. Durch $\begin{eqnarray} \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle _A := \langle \vec{x}_B, A \vec{y}_B \rangle \end{eqnarray}$ ist ein Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ definiert (nicht zu zeigen). a) Ich soll den Winkel bzgl $\begin{eqnarray} \langle \cdot, \cdot \rangle _ A \end{eqnarray}$ zwischen den Vektoren $\begin{eqnarray} K_{b}^{-1} (\begin{pmatrix}2\\0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K_{b}^{-1} (\begin{pmatrix}-4\\4 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ zeigen. b) Seien nun allgemein $\begin{eqnarray} \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec{x}_B :=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{y}_B :=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie die beiden Vektoren $\begin{eqnarray} (\vec{x}, (\vec{y} \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ und berechnen Sie die Skalarprodukte $\begin{eqnarray} \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle _A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle _{\mathbb R^2} \end{eqnarray}$ . Deuten Sie das Ergebnis. Inzwischen verzweifle ich an der Aufgabe. Ich weiß nicht, wie ich auf diese Vektoren $\begin{eqnarray} K_{b}^{-1} (\begin{pmatrix}2\\0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K_{b}^{-1} (\begin{pmatrix}-4\\4 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ komme oder wie ich damit rechnen soll. Wenn mir da jemand einen Tipp geben könnte, könnte ich versuchen, weiter zu kommen...aber so scheitert es eben schon am Anfang. :-( Kann mir jemand helfen? Liebe Grüße!
06.09.2013, 12:03	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinatenvektor Hallo Kathi, hallo küb, Da $\begin{eqnarray} K_B \end{eqnarray}$ eine bijektive Abbildung des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ in sich selbst ist, könnte $\begin{eqnarray} K_B^{-1} \end{eqnarray}$ für die Inverse dieser Abbildung stehen. $\begin{eqnarray} {K_B}^{-1} ( \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ ist dann gerade der Vektor $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ , für welchen $\begin{eqnarray} \vec x_B=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist. Wenn dieses $\begin{eqnarray} K_B \end{eqnarray}$ aber erst in dieser Aufgabe eingeführt wurde, finde ich das ganze allerdings auch etwas knapp erklärt. Man sollte zumindest $\begin{eqnarray} K_B \end{eqnarray}$ als Abbildung definieren und nicht nur als bloße Bezeichnung. Gruß Reksilat PS: große Mengenklammern mit: \left\{...\right\} $\begin{eqnarray} \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$

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