Verteilungsfunktion in R2

05.09.2013, 21:12

Studentu

Verteilungsfunktion in R2

Meine Frage:
Hallo Leute, die Aufgabe lautet:
Man bestimme zu T: $\begin{eqnarray*} ([0,1]^2, B^2) \rightarrow (R,B) \end{eqnarray*}$ , gegeben durch $\begin{eqnarray*} T((x_1, x_2):=x_1-x_2 \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion und Dichte des induzierten Maßes $\begin{eqnarray*} \Lambda_2T^{-1} \end{eqnarray*}$ und berechne $\begin{eqnarray*} \Lambda_2T^{-1}([-a,a]) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich weiß zwar, dass für die Verteilungsfunktion F(x) gilt, dass F(y) = P(x<=y), aber ich hab leider generell keine Ahnung, wie man da herangeht, eine Verteilungsfunktion aufzustellen, weshalb ich auch für eine allgemeine Erklärung sehr dankbar wäre!

06.09.2013, 08:37

Leopold

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Wenn ich deine Symbolik richtig interpretiere ( $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ soll wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bedeuten), wird hier ein Maß $\begin{eqnarray*} \mu = \Lambda_2 T^{-1} \end{eqnarray*}$ auf den Borelmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert.

Nehmen wir der Einfachheit halber ein Intervall $\begin{eqnarray*} I \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (was genügt, da sich die Borelmengen aus den Intervallen erzeugen lassen). Wie bekommt man $\begin{eqnarray*} \mu(I) \end{eqnarray*}$ ?
Zunächst bestimmt man das Urbild $\begin{eqnarray*} A = T^{-1}(I) \end{eqnarray*}$ unter der Abbildung $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , also alle Punkte des Einheitsquadrats $\begin{eqnarray*} Q = [0,1]^2 \end{eqnarray*}$ , die durch $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ in das Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ abgebildet werden. $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ besitzt ein zweidimensionales Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray*} \Lambda_2(A) \end{eqnarray*}$ . Das ist letztlich der elementargeometrische Flächeninhalt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , wie man ihn aus der Schule kennt. Und dieser Wert ist definitionsgemäß das Maß von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \mu(I) = \Lambda_2(A) \end{eqnarray*}$

Vielleicht drei Beispiele. Bitte zu allen Beispielen eine Zeichnung erstellen. Sonst geht gar nichts.

Zunächst $\begin{eqnarray*} I = (- \infty;-2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = T^{-1}(I) \end{eqnarray*}$ besteht aus allen $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \in Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} T(x_1,x_2) = x_1-x_2 \leq -2 \end{eqnarray*}$ . Oder nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ aufgelöst: $\begin{eqnarray*} x_2 \geq x_1 + 2 \end{eqnarray*}$ . Man zeichnet also die Gerade $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} x_2 = x_1 + 2 \end{eqnarray*}$ . Alle Punkte des Quadrates $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ , die auf oder oberhalb von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ liegen, bilden den Bereich $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Nun, das sind, wie ein flüchtiger Blick lehrt, überhaupt keine Punkte, also $\begin{eqnarray*} A = T^{-1}(I) = \emptyset \end{eqnarray*}$ . Und damit ist $\begin{eqnarray*} \mu(I) = \Lambda_2(\emptyset) = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt $\begin{eqnarray*} I = (- \infty; 0{,}3 ] \end{eqnarray*}$

Hier besteht $\begin{eqnarray*} A = T^{-1}(I) \end{eqnarray*}$ aus allen Punkten von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ , die oberhalb der Geraden $\begin{eqnarray*} x_2 = x_1 - 0{,}3 \end{eqnarray*}$ liegen. Um $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zu erhalten, muß man von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ rechts unten ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Schenkellänge $\begin{eqnarray*} 0{,}7 \end{eqnarray*}$ wegnehmen. Damit gilt: $\begin{eqnarray*} \mu(I) = \Lambda_2(A) = 1 - \frac{1}{2} \cdot 0{,}7^2 = 0{,}755 \end{eqnarray*}$

Und schließlich $\begin{eqnarray*} I = (- \infty;3] \end{eqnarray*}$

Dieses Mal besteht $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ aus allen Punkten des Quadrats, denn alle Punkte von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ liegen oberhalb der betreffenden Geraden. Damit gilt: $\begin{eqnarray*} \mu(I) = \Lambda_2(Q) = 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt bestimme zunächst die Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F(t) = \mu \left( \, (-\infty;t] \, \right) \, , \ \ t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Du mußt jetzt allgemein durchführen, was ich dir an den drei Beispielen $\begin{eqnarray*} t=-2;0{,}3;3 \end{eqnarray*}$ vorgerechnet habe. Unterscheide vier Fälle für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Sie hängen von der Lage der Geraden ab, wie ich es oben erklärt habe.

Der Rest ist dann nicht mehr schwer. Die Dichte ist $\begin{eqnarray*} f(t) = F'(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \left( [-a;a] \right) = F(a) - F(-a) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

06.09.2013, 17:34

HAL 9000

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Ergänzende Anmerkung:

Zitat:

Original von Studentu
Man bestimme [...] die Verteilungsfunktion und Dichte des induzierten Maßes $\begin{eqnarray*} \Lambda_2T^{-1} \end{eqnarray*}$

Man spricht hier auch von Bildmaß von $\begin{eqnarray*} \Lambda_2 \end{eqnarray*}$ unter der Abbildung $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$

06.09.2013, 21:27

Studentu

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Wow, danke, Leopold und Hal 9000!
Mit der Graphik hab ich das jetzt (zumindest für dieses Bsp.) verstanden, glaub ich.
Es kommt also als Verteilungsfunktion für x<-1: 0, für $\begin{eqnarray*} -1<=x<=0: (1+x)^2/2 \end{eqnarray*}$ , für 0<=x<=1: $\begin{eqnarray*} 1-(1-x)^2/2 \end{eqnarray*}$ und für x>1: 1 raus, oder? Und als f(x) dann 0, 1+x, 1-x und 0 und für die Verteilungsfunktion von [-a,a] für 0<a<=1: 1-(1-a)^2 und für a>1: 1 heraus?
Was wäre denn nun, wenn ich diese Funktion nicht so schön graphisch veranschaulichen hätte können? Wie geht man dann vor?
Danke auch für den Link, ich hab den Zusammenhang mit dem Integral und f und g und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ zwar noch nicht ganz verstanden, aber ich werds mir dann in Ruhe nochmal genauer anschauen.

06.09.2013, 22:10

Leopold

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Stimmt alles. Ich habe das Ganze noch graphisch aufbereitet (siehe Anhang). Zum Anschauen der Datei mußt du Euklid herunterladen.

07.09.2013, 15:28

Studentu

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Danke, Leopold, habs mir runtergeladen und deine Animation veranschaulicht das Ganze wirklich gut Freude

Was genau hat man aber eigentlich von einer Verteilungsfunktion (außer, dass man weiß, mit welcher Wahrscheinlichkeit etwas dann kleiner als das x ist, weil P(X<=x) = F(x)?

08.09.2013, 16:07

Leopold

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Hat man erst einmal die Verteilungsfunktion, so kann man für jedes Intervall die Wahrscheinlichkeit berechnen:

$\begin{eqnarray*} P \left( [a,b] \right) = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$

Und für alles, was man mittels der Mengenoperationen einschließlich der $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Additivität aus den Intervallen erzeugen kann, also letztlich für die gesamten Borel-Mengen, kann man jetzt ebenso die Wahrscheinlichkeit berechnen. Bei vielen Aufgaben aus der Praxis geht es über Intervalle, vielleicht noch endliche Vereinigungen solcher, sowieso nicht hinaus.

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