Grenzwert

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05.09.2013, 21:34

grenzwert

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Grenzwert

Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n + \sqrt[3]{n^{2} }- \sqrt[3]{n} } \end{eqnarray*}$

komme nicht weiter.....

05.09.2013, 21:37

Grenzwert

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[3]{n + \sqrt[3]{n^{2} }- \sqrt[3]{n} } \end{eqnarray*}$
sollte es heissen

05.09.2013, 21:45

Equester

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Ziehe den Limes in die große Wurzel. Dann stört diese schonmal nicht mehr.
Da klammere mal $\begin{eqnarray*} n^{1/3} \end{eqnarray*}$ aus um das negative Vorzeichen zu entschärfen. Der Rest ergibt sich.

05.09.2013, 21:55

grenzwert

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Danke für die Antwort, jedoch habe ich mich im Latex verschrieben, sry:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[3]{n + \sqrt[3]{n^{2} }}- \sqrt[3]{n} \end{eqnarray*}$

05.09.2013, 22:10

Equester

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So wende die dritte binomische Formel an.
Danach schreit es zumeist, wenn wir Wurzeln und ne Summe haben Augenzwinkern

05.09.2013, 22:13

Iorek

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Zitat:

Original von Equester
So wende die dritte binomische Formel an.

Wobei das hier mit der "üblichen" binomischen Formel $\begin{eqnarray*} (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \end{eqnarray*}$ nicht funkioniert, schließlich haben wir es hier mit der dritten Wurzel zu tun. Da muss man nach einer anderen Umformung Ausschau halten... Augenzwinkern

05.09.2013, 23:24

Grautvornix

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Zitat:

Original von Equester
So wende die dritte binomische Formel an.
Danach schreit es zumeist, wenn wir Wurzeln und ne Summe haben Augenzwinkern

Nach meinem Geschmack schreit das Ganze ehar nach AM-GM-HM.

Betrachte dazu zunächst

$\begin{eqnarray*} a_n:=\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}}-\sqrt[3]{n}=\sqrt[3]{\sqrt[3]{n}\cdot\sqrt[3]{n}\cdot(\sqrt[3]{n}+1)}-\sqrt[3]{n} \end{eqnarray*}$

und folgere mittels AM-GM-HM

$\begin{eqnarray*} \frac 13\geq a_n\geq \frac 1{3+\frac 2{\sqrt[3]{n}}}. \end{eqnarray*}$

07.09.2013, 21:21

alterHund

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falls doch noch jemand hereinschauen sollte:
( $\begin{eqnarray*} a-b)\cdot (a^2+a\cdot b + b^2) = a^3 - b^3 \end{eqnarray*}$
hilft hier.

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