Woran sieht man, ob eine Parametrisierung nach innen oder außen zeigt?

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05.09.2013, 23:37

Lisa321

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Woran sieht man, ob eine Parametrisierung nach innen oder außen zeigt?

Meine Frage:
Woran erkenn ich das ? Geht hierbei um Vektoranalysis.....

Meine Ideen:
hab keine ahnung...

06.09.2013, 10:04

Ehos

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Angenommen man hat eine 2-dimensionale Fläche, z.B. eine Kugelfläche mit den Parametern $\begin{eqnarray*} \phi, \theta \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \vec x(\phi, \theta)=\begin{pmatrix} R\cos(\phi)\sin(\theta) \\ R\sin(\phi)\sin(\theta) \\ R\cos(\theta) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann hat es keinen Sinnen, ohne weitere Angaben von einer Parametrisieung "nach innen" oder "nach außen" zu sprechen. Man kann nämlich den Normalvektor der Kugelfläche in beide Richtungen bilden, indem man das Vektorprodukt der Ableitungen bildet und normiert. Je nach Reihenfolge der Faktoren, zeigt der Normalvektor nach innen oder außen:

$\begin{eqnarray*} \vec n_{\text{innen}}=\frac{\tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi} \times \tfrac{\partial \vec x}{\partial \theta}}{\left | \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi} \times \tfrac{\partial \vec x}{\partial \theta} \right |} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec n_{\text{außen}}=\frac{\tfrac{\partial \vec x}{\partial \theta} \times \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi}}{\left | \tfrac{\partial \vec x}{\partial \theta} \times \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi} \right |} \end{eqnarray*}$

Man benötigt also einen unabhängigen Vektor als Referenz, von dem man entscheiden kann, ob er nach innen oder außen zeigt.

Hat man eine komplizierte Fläche, z.B. Seifenschaum, der aus vielen Bläschen zusammengesetzt ist, kann man schon anschaulich gar nicht von "innen" und "außen" sprechen. Denn der Normalenvektor, welcher bezüglich eines Bläschens nach innen zeigt, zeigt bezüglich des benachbarten Bläschens nach außen usw.

Man beachte, dass gewisse Flächen prinzipiell nicht orientierbar sind. z.B. das sogenannte "Möbiusband". Bei dieser Fläche gibt es kein "oben" und "unten". Eine Abbildung des Möbiusbandes findest du bei WIKIPEDIA.

06.09.2013, 16:41

Che Netzer

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Zitat:

Original von Ehos
Man kann nämlich den Normalvektor der Kugelfläche in beide Richtungen bilden, indem man das Vektorprodukt der Ableitungen bildet und normiert.

Der Normalenvektor einer regulären Parametrisierung $\begin{eqnarray*} x=x(u,v) \end{eqnarray*}$ ist standardmäßig
$\begin{eqnarray*} \frac{x_u\times x_v}{\lvert x_u\times x_v\rvert}\,. \end{eqnarray*}$

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Woran sieht man, ob eine Parametrisierung nach innen oder außen zeigt?

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