Wahrscheinlichkeit auf n Erfolge bei unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten

05.09.2013, 23:41

Dweezil

Wahrscheinlichkeit auf n Erfolge bei unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten

Meine Frage:
Hallo,

ich hätte noch eine Frage zur Vorgehensweise bei folgendem Problem (vielleicht gibt es dafür schon einen Namen?):

n Personen wählen den Bürgermeister. Jede Person wählt mich mit einer bestimmten mir bekannten Wahrscheinlichkeit, bspw. Pers. A zu 20%, B zu 75%, usw. Wie berechne ich nun die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion P(k) genau k Stimmen zu erhalten?

Meine Ideen:
Eine Lösung ist natürlich alle verschiedene Pfade des Ereignisbaums durchzugehen, wobei dies aufgrund der hohen Anzahl an verschiedenen Kombinationen für k =! 0 und k =! n ab n=5 vermutlich nur mit dem Rechner sinnvoll ist. Prinzipiell brächte ich für eine solche Vorgehensweise keine Hilfe (wenngleich ich den Algorithmus sicher nicht in 5 min hinschreiben könnte ;-).

Meine eigentlich Frage ist, gibt es nicht eine elegantere bzw. einfachere Möglichkeit? Die Fragesstellung hört sich ja eigentlich recht simpel an.

Vielen Dank!
Martin

06.09.2013, 00:19

Kasen75

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Hallo,

bei zwei Bürgermeisterkandidaten kann man die Wahrscheinlichkeit für k Stimmen für Bürgermeister A bzw. B mit der Binomialverteilung berechnen.

Bei mehr als 2 Bürgermeisterkandidaten kann man die Multinomialverteilung verwenden.

Grüße.

06.09.2013, 12:07

Dweezil

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Unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten!
Hallo, danke für die Antwort, aber ich glaube es war nicht ganz klar was das Problem ist. Vielleicht ist das Bsp. mit verschiedenen Personen nicht gut getroffen, sagen wir es geht um die Wahl in unterschiedlichen Wahlkreisen.
Weiters habe ich in der Beschreibung n und k durcheinandergebracht; zur Korrektur es geht also um k Erfolge bei n Versuchen.

Für jeden Wahlkreis ist die Wahrscheinlichkeit pi bekannt, dass dort X gewählt wird, aber für jeden i.A. unterschiedlich. Deswegen kann ich auch nicht die Binomialverteilung mit p = const verwenden.

Ich dachte zunächst vielleicht an die Summe von n Binomialverteilungen ~ B(1,pi), aber was stellt die Summe z.B. zweier Binomialvert. denn anschaulich dar? Dass ist doch die Zusammenlegung z.B. zweier Urnen, und so gesehen nur für gleiche Wahrscheinlichkeiten sinnvoll, oder?

10.09.2013, 20:39

Dweezil

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Niemand da der zu oben geschildertem Problem eine einfachere Methode kennt? verwirrt

Falls es jemanden gibt der sich gut auskennt und sagt "ich kenn keine, wahrscheinlich gibts keine", auch OK, das wär auch ne Antwort.

11.09.2013, 16:25

Kasen75

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RE: Wahrscheinlichkeit auf n Erfolge bei unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten

Zitat:

Original von Dweezil
Meine Ideen:
Eine Lösung ist natürlich alle verschiedene Pfade des Ereignisbaums durchzugehen, wobei dies aufgrund der hohen Anzahl an verschiedenen Kombinationen für k =! 0 und k =! n ab n=5 vermutlich nur mit dem Rechner sinnvoll ist. Prinzipiell brächte ich für eine solche Vorgehensweise keine Hilfe (wenngleich ich den Algorithmus sicher nicht in 5 min hinschreiben könnte ;-).

Meine eigentlich Frage ist, gibt es nicht eine elegantere bzw. einfachere Möglichkeit? Die Fragesstellung hört sich ja eigentlich recht simpel an.

Je öfter ich deine Beiträge durchlese, desto weniger eindeutig erscheinen sie mir.
Es wäre gut, wenn du das Problem noch mal ganz konkret an einem kleinen Beispiel schilderst. Die Rechnung könntest du auch posten, da du für kleine Parameter die Rechnung anscheinend beherrscht.

11.09.2013, 16:52

HAL 9000

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@Dweezil

Als Summe geschrieben geht es um

$\begin{eqnarray*} P(X_n=k) = \sum\limits_{\substack{A\subset\{1,\ldots,n\}\\ |A|=k}} ~ \prod_{i\in A} p_i \prod_{j\in \{1,\ldots,n\}\setminus A} (1-p_j) \end{eqnarray*}$ .

Insgesamt sind das $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ Summanden, jeder durch eine $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -elementige Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als Index repräsentiert.

Ob das schneller zu berechnen geht als alle diese Summanden durchzugehen? Bei "allgemeiner" Lage der $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ vermutlich nicht. Rekursiv könnte man das ganze so schreiben

$\begin{eqnarray*} P(X_n=k) = p_nP(X_{n-1}=k-1) + (1-p_n)P(X_{n-1}=k)\qquad (*) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n>0 \end{eqnarray*}$ ,

wobei wegen $\begin{eqnarray*} P(X_n=k)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k<0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} k>n \end{eqnarray*}$ entsprechende Verzweigungspfade abbrechen - bleibt lediglich noch Initialwert $\begin{eqnarray*} P(X_0=0)=1 \end{eqnarray*}$ , um die Rekursion vollständig abzurunden. Letztendlich ist (*) aber nur die algorithmische Umsetzung der Aufteilung des binären (Ereignis)Baums in seine zwei Teilbäume. Augenzwinkern

EDIT: Ok, für große $\begin{eqnarray*} n,k \end{eqnarray*}$ ist eine geschickte Organisation der Berechnung via (*) dann doch erheblich effizienter als die einfache Summation aller $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ Summanden. smile

11.09.2013, 17:53

Kasen75

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@HAL

Was genau ist bei dir jetzt "k" ? Ich hatte das jetzt so verstanden, dass k die Summe der abgegebenen Stimmen für die interessierenden Kandidaten ist. Wobei immer jeweils ein Kandidat, pro Gemeinde, von Interesse ist.

11.09.2013, 18:19

HAL 9000

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Ich beziehe mich auf die Originalproblemstellung, auch in den Variablennamen:

Zitat:

Original von Dweezil
n Personen wählen den Bürgermeister. Jede Person wählt mich mit einer bestimmten mir bekannten Wahrscheinlichkeit, bspw. Pers. A zu 20%, B zu 75%, usw. Wie berechne ich nun die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion P(k) genau k Stimmen zu erhalten?

Mit $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,\ldots,p_n \end{eqnarray*}$ meine ich die einzelnen Wahlwahrscheinlichkeiten der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Personen.

Und $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ ist die zufällige Anzahl der Ja-Stimmen unter den Wählern $\begin{eqnarray*} 1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ .

11.09.2013, 20:51

Dweezil

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Danke!
Vielen Dank für die Antworten!

@HAL 9000: Ja genauso meinte ich das Problem. An Rekursion habe ich nicht gedacht, vielen Dank für die ausführliche Antwort.

@Kasen75: Sorry wegen der ungenauen Fragestellung. Bsp. mit Bürgermeister ist nicht gut weil etwas realitätsfern. Die Wahrscheinlichkeit 0 <= k <= n Stimmen zu erhalten interessiert hier (der Einfachheit halber) nur bezüglich eines einzigen Bürgermeisters.

Schöne Grüße,
Martin

12.09.2013, 08:58

HAL 9000

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Ein paar Worte noch zur algorithmischen Umsetzung von (*):

Zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} P(X_n=k) \end{eqnarray*}$ benötigt man die zwei Werte $\begin{eqnarray*} P(X_{n-1}=k-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X_{n-1}=k) \end{eqnarray*}$ , um diese beiden zu berechnen braucht man die drei Werte $\begin{eqnarray*} P(X_{n-2}=k-2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(X_{n-2}=k-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X_{n-2}=k) \end{eqnarray*}$ , usw.

Insgesamt braucht man auf Stufe $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ die Werte $\begin{eqnarray*} P(X_m=j) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j=k-n+m,\ldots,k \end{eqnarray*}$ . Andererseits wissen wir aber $\begin{eqnarray*} P(X_m=j)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j<0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} j>m \end{eqnarray*}$ .

Insgesamt würde man also stufenweise von $\begin{eqnarray*} m=1,2,\ldots,n \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeiten

$\begin{eqnarray*} P(X_m=j) = p_mP(X_{m-1}=j-1) + (1-p_m)P(X_{m-1}=j) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j = \max(k-n+m,0),\ldots,\min(k,m) \end{eqnarray*}$

berechnen, wenn man am Ende nur an $\begin{eqnarray*} P(X_n=k) \end{eqnarray*}$ interessiert ist.

Will man hingegen die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung $\begin{eqnarray*} P(X_n=k) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ bestimmen, dann ist auf jeder Stufe $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ die gesamte Bandbreite von $\begin{eqnarray*} j=0,1,\ldots,m \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Augenzwinkern

15.09.2013, 16:06

Dweezil

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Danke!
Danke für die Zusatzerklärung. smile

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