Untersuchung der Hillfunktion auf Lipschitz-Stetigkeit

06.09.2013, 13:49	gwendoline	Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuchung der Hillfunktion auf Lipschitz-Stetigkeit Meine Frage: Hallo zusammen, ich will folgende Gleichung auf Lipschitz-Stetigkeit untersuchen: [latex]f(y)=\frac{y^n}{y^n+T^n}[\latex] Klar ist, das [latex]f\in C¹( \mathbb R), n\in \mathbb R_+[\latex]. Weshalb ich zeigen will, dass die Ableitung beschränkt ist. [latex]f'(y)= \frac{ny^{n-1}T^n}{(T^n+y^n)²} [\latex] Meine Ideen:* Für n=1,ist die Sache einfach: [latex] f'(y)=\frac{T}{(T+y)²}\leq 1/T [\latex] Und für n>1, habe ich auch einen Ansatz, der ist aber nicht besonders schön. Ich teile meine Betrachtung in das Intervall (0,T) und [latex](T,\infty)[\latex] und schätze nach oben ab. Für [latex](T,\infty)[\latex]: [latex]f'(y)\leq \frac{nT^n}{2T^ny+y^{n+1}}=g(y)[\latex] und für (0,T): [latex]f'(y)\leq \frac{nT^n}{2T^ny+\frac{T^n}{y^{n-1}}}=h(y)[\latex] Und dann könnte ich einfach berechnen, wo g(y)=h(y) und erhalte: [latex]f'(y)<\frac{n}{3T}[\latex] das ist aber eine sehr grobe Abschätzung. Hat jemand einen besseren Ansatz? Beziehungsweise einen Verbesserungsvorschlag? Oder habe ich etwas übersehen?
06.09.2013, 13:57	gwendoline	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung der Hillfunktion auf Lipschitz-Stetigkeit Entschuldigung, habe da was mit dem latex verhauen. Also nochmal: Meine Frage: Hallo zusammen, ich will folgende Gleichung auf Lipschitz-Stetigkeit untersuchen: $\begin{eqnarray} f(y)=\frac{y^n}{y^n+T^n} \end{eqnarray}$ Klar ist, das $\begin{eqnarray} f\in C^1( \mathbb R), n\in \mathbb R_+, T \in \mathbb R \text{ Konstante} \end{eqnarray}$ . Weshalb ich zeigen will, dass die Ableitung beschränkt ist. $\begin{eqnarray} f'(y)= \frac{ny^{n-1}T^n}{(T^n+y^n)²} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Für n=1,ist die Sache einfach: $\begin{eqnarray} f'(y)=\frac{T}{(T+y)²}\leq 1/T \end{eqnarray}$ Und für n>1, habe ich auch einen Ansatz, der ist aber nicht besonders schön. Ich teile meine Betrachtung in das Intervall (0,T) und $\begin{eqnarray} (T,\infty) \end{eqnarray}$ und schätze nach oben ab. Für $\begin{eqnarray} (T,\infty) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f'(y)\leq \frac{nT^n}{2T^ny+y^{n+1}}=g(y) \end{eqnarray}$ und für (0,T): $\begin{eqnarray} f'(y)\leq \frac{nT^n}{2T^ny+\frac{T^n}{y^{n-1}}}=h(y) \end{eqnarray}$ Und dann könnte ich einfach berechnen, wo g(y)=h(y) und erhalte: $\begin{eqnarray} f'(y)<\frac{n}{3T} \end{eqnarray*}$ das ist aber eine sehr grobe Abschätzung. Hat jemand einen besseren Ansatz? Beziehungsweise einen Verbesserungsvorschlag? Oder habe ich etwas übersehen?
06.09.2013, 17:10	gwendoline	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung der Hillfunktion auf Lipschitz-Stetigkeit Hat sich schon geklärt.

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