Zwischenwertssatz, genau eine Lösung

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06.09.2013, 15:25	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenwertssatz, genau eine Lösung Hey Freunde, habe eine Frage zu folgender Aufgabe: Wann hat diese Gleichung genau eine Lösung? $\begin{eqnarray} x^3-x^5=3 \end{eqnarray}$ Mir fällt da der Zwischenwertsatz ein. Also muss ich einmal zeigen, dass für ein $\begin{eqnarray} x_a \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x_a) \end{eqnarray}$ < 0 gilt und dass für ein weiteres $\begin{eqnarray} x_b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x_b) > 0 \end{eqnarray}$ gilt. Da hier nach genau einer Lösung gefragt ist, muss ich noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} {f}'(x) > 0 \end{eqnarray}$ , also streng monoton wachsend ist. So ich hab jetzt per Zufall zwei Werte gefunden. $\begin{eqnarray} x_a = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_b = -2 \end{eqnarray}$ , für diese Werte sind die Bedingungen erfüllt. Zudem gilt: $\begin{eqnarray} {f}'(x)=-5x^4+3x^2 \end{eqnarray}$ Wie zeig ich jetzt dass diese Ableitung immer größer 0 ist? Weil für die von mir gefundenen Werte stimmt das nicht.
06.09.2013, 15:29	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ZWS klingt ja schonmal gut, aber die Ableitung ist z.B. für $\begin{eqnarray} x_0=1 \end{eqnarray}$ kleiner als 0.. Hast du noch eine andere Idee? EDIT: Die Ableitung ist falsch.
06.09.2013, 15:30	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich könnte mein Intervall ja verändern. Aber das ist meiner Meinung nach nicht sinnvoll, nicht in dem Sinne sinnvoll, dass ich rumprobiere. Wie sucht man denn sinnvoll nach passenden Werten? //Edit: Ableitung verbessert.
06.09.2013, 15:33	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist dir der Satz von Rolle bekannt?
06.09.2013, 15:35	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Davon habe ich mal gehört ja Könntest du bitte was dazu sagen? Edit: Das ist doch der Mittelwertsatz?
06.09.2013, 15:40	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein das ist nicht der MWS. Der Satz von Rolle sagt: Sei f eine auf $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ stetige und auf $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ diff'bare Funktion. Wenn $\begin{eqnarray} f(a)=f(b) \end{eqnarray}$ gilt, so gibt es ein $\begin{eqnarray} x_0 \in (a,b) \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f'(x_0) = 0 \end{eqnarray}$ . Schau mal ob dir das in diesem Kontext hilft
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06.09.2013, 15:43	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ich überlege mal
06.09.2013, 15:53	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie komm ich nicht drauf. Bringt es mir was wenn ich die Nullstellen der ersten Ableitung untersuche?
06.09.2013, 16:01	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Normal würde man mit Rolle einen Widerspruchsbeweis machen, d.h. du gehst davon aus das f zwei Nst. hat. Das führst du dann, wie du richtig bemerkt hast mit den Nullstellen der Ableitung zum Widerspruch. Geht das hier denn?
06.09.2013, 16:15	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Nullstellen sind: $\begin{eqnarray} x_1 = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 = \sqrt{\frac{3}{5}} \end{eqnarray}$ .
06.09.2013, 16:19	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Und auch noch $\begin{eqnarray} x_3 = - \sqrt{\frac{3}{5}} \end{eqnarray}$ . Jetzt kann man mit geeigneten Werten zumindest schonmal zeigen, dass es nur ein $\begin{eqnarray} x_0 < - \sqrt{\frac{3}{5}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x_0) = 0 \end{eqnarray}$ gibt, weißt du wie? Für den Rest müssen wir dann noch weiter überlegen
07.09.2013, 19:31	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Ableitungen in $\begin{eqnarray} x_1 x_2 x_3 \end{eqnarray}$ jeweils eine Nullstelle haben, dann hat ja $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ an diesen Stellen ein Extrema richtig? An den Stellen wechseln sich also die Vorzeichen. Dann könnte ich ja schonmal versuchen zwischen diesen Werten mein Zwischenwertzsatz anzuwenden oder? Das was du meinst versteh ich jetzt nicht.
07.09.2013, 19:45	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht unbedingt, ist halt nur die notwendige Bedingung für Extrema. Wie ich vorgehen würde: Nach dem ZWS weißt du, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (-2,-1) \end{eqnarray}$ mindestens eine Nullstelle hat. Mach einen Widerspruchsbeweis (mit Rolle); d.h. geh davon aus, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (-2,-1) \end{eqnarray}$ zwei Nst. hat, dann müsste $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ in dem Intervall also mindestens eine Nst. haben (Widerspruch). Und da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} [-\sqrt{\frac{3}{5}},\sqrt{\frac{3}{5}}] \end{eqnarray}$ monoton steigend ist, reicht es zu zeigen, das $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ an der rechten Intervallgrenze kleiner Null ist. Dann folgt die Behauptung.

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