Grenzwert "umdrehen"

06.09.2013, 15:56

BlacknWhite

Grenzwert "umdrehen"

Hi,

folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

In der Musterlösung haben wir anscheinend den Grenzwert einfach umgedreht:

Sei $\begin{eqnarray*} x =\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n - n^2 = - \infty \end{eqnarray*}$

--> Der Grenzwert existiert nicht

Kann man diese Methode bei jeder Grenzwertprüfung gegen einen Wert durchführen?
Oder nur bei einer Grenzwertprüfung für lim gegen 0 ?

06.09.2013, 16:03

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht auch für einen Wert, allerdings dann nicht unbedingt mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ sondern mit einer Folge mit geeignetem Grenzwert.

06.09.2013, 16:10

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Anzumerken ist auch, dass man den umgekehrten Schluss nicht ziehen kann.

Würde der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}n-n^2 \end{eqnarray*}$ existieren, könnte man daraus noch nicht die Existenz des ursprünglichen Grenzwerts folgern.

06.09.2013, 16:18

BlacknWhite

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Guppi12
Würde der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}n-n^2 \end{eqnarray*}$ existieren, könnte man daraus noch nicht die Existenz des ursprünglichen Grenzwerts folgern.

Gut zu wissen!
Du schreibst "noch nicht" - also gibt es eine Möglichkeit, sodass man aus diesem Grenzwert den ursprünglichen folgern kann?

06.09.2013, 16:41

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das hatte ich nicht gemeint Augenzwinkern

Mit noch nicht meinte ich einfach, dass das nicht ausreicht. Wollte man Konvergenz zeigen, müsste für jede Nullfolge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ gelten, dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{x_n}-\frac{1}{{x_n}^2} \end{eqnarray*}$ existiert.

Im obigen Fall wurde das ja nur für eine einzige Nullfolge überprüft(was natürlich zum zeigen der Divergenz ausreicht, da ja dann schon nicht mehr für jede Folge Konvergenz eintreten kann Augenzwinkern

)

06.09.2013, 17:14

BlacknWhite

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt. smile

Danke!

06.09.2013, 17:54

BlacknWhite

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bijektion
Das geht auch für einen Wert, allerdings dann nicht unbedingt mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ sondern mit einer Folge mit geeignetem Grenzwert.

D.h. hätte ich z.B. folgenden Limes: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

könnte ich den Limes umkehren zu
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x}-2} \end{eqnarray*}$

und mit diesem umgekehrten Limes zeigen, dass meine ursprünglicher Grenzwert gegen -2 divergiert?

Ja oder?

06.09.2013, 17:56

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von BlacknWhite

und mit diesem umgekehrten Limes zeigen, dass meine ursprünglicher Grenzwert gegen -2 divergiert?

Ja oder?

Das könntest du machen, aber was soll denn heißen "gegen -2 divergiert"?

EDIT: Hier greift nun auch das was Guppi12 erwähnt hat.

06.09.2013, 17:59

BlacknWhite

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, war etwas umständlich formuliert: [..] dass mein ursprünglicher Limes, der gegen -2 geht, divergiert.

06.09.2013, 18:05

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann denn etwas gegen etwas (EDIT: einen festen Wert) divergieren?

Du meinst doch folgendes: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , sei $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{n}-2 \end{eqnarray*}$ . Dann $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{n}-2} = \frac{1}{-2} \end{eqnarray*}$ . Und jetzt greift das Was Guppi12 gesagt hat, das das nur für eine Folge gezeigt ist und nicht für alle.

06.09.2013, 18:22

BlacknWhite

Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, da bin ich wohl auf der Suche nach einem geeigneten kurzen Beispiel etwas durcheinander gekommen.
Hab's aber verstanden denk ich smile

Danke!

06.09.2013, 18:44

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert "umdrehen"

Verwandte Themen