Urbild eines Punktes endlich

06.09.2013, 18:29	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Urbild eines Punktes endlich Hallo zusammen, beschäftige mich gerade mit der Singularitätenauflösung einer ebenen algebraischen Kurve und habe dabei folgendes Problem. Gegeben sei eine Riemannsche Fläche $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und eine ebene projektive Kurve $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ kompakt und $\begin{eqnarray} f:X \rightarrow Y \end{eqnarray}$ eine eigentliche Abbildung ist. Außerdem sei $\begin{eqnarray} f:X-f^{-1}(Sing(C)) \rightarrow C-Sing(C) \end{eqnarray}$ biholomorph. Was ich zeigen möchte ist, dass für ein $\begin{eqnarray} y \in Y \end{eqnarray}$ das Urbild $\begin{eqnarray} f^{-1}(\{y\}) \end{eqnarray}$ endlich sein muss. Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eigentlich und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ kompakt ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ natürlich auch kompakt. Außerdem wurde mir als Tip gegeben, dass ich eine offene Überdeckung von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ betrachten soll. Da $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ kompakt gibt es dafür eine endliche Teilüberdeckung. Sollte $\begin{eqnarray} f^{-1}(\{y\}) \end{eqnarray}$ nun nicht endlich sein, gibt es eine offene Menge $\begin{eqnarray} U \subset X \end{eqnarray}$ in der unendlich viele Elemente von $\begin{eqnarray} f^{-1}(\{y\}) \end{eqnarray}$ liegen. Hab dann noch als Idee bekommen, dass man eventuell mit dem Identitätssatz arbeiten könnte, weiß aber nicht so recht wie das funktionieren soll. Wäre super, wenn mir jemand weiter helfen könnte.

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