Ansatz für partikuläre Lösung

06.09.2013, 19:41

Mario1234

Ansatz für partikuläre Lösung

Meine Frage:
Hallo ich habe folgende DGL zu lösen ;

y'' + 2y' +2y = e^(2x)+ 3x

Berechnet wurde schon der homogene Teil also (y'' + 2y' +2y =0) mit dem Ergebnis : y1= -1+i , y2= -1-i

Probleme macht mir jetzt aber der partikuläre Teil...

Meine Ideen:
Mein Ansatz war: $\begin{eqnarray*} Yp=3x*e^{2x} *(a1+x+a0) \end{eqnarray*}$

Da kommt nur Kraut und Rüben raus mit den ich kein Gleichungssystem aufstellen kann, alle anderen Fälle gehen mir so von der Hand aber bei dieser Variante komm ich absolut nicht weiter.

Ich verstehe auch die Auswahlkriterien nicht ganz, die Formel leitet sich aus einer anderen ab.... ich lade grad mal ein Foto von meinem Ergebnis und meiner Formelsammlung hoch...

Ok hoffe auf Hilfe

06.09.2013, 20:02

Mario1234

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Ich hab jetzt doch was raus bekommen halte das aber für kompletten Unfug:

a0= 1/16

a1= 0

Und kann mir bitte jemand die Richtlinien des Lösungsansatzes für diese Art der Störfunktion erklären? Das wäre sehr nett.

06.09.2013, 20:20

Kasen75

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RE: Ansatz für partikuläre Lösung

Zitat:

Original von Mario1234
Meine Frage:
ich lade grad mal ein Foto von meinem Ergebnis und meiner Formelsammlung hoch...

Wo ist die Formelsammlung ?

Und ist das $\begin{eqnarray*} y'' + 2y' +2y = e^{2x}+ 3x \end{eqnarray*}$ die DGL ?

Du scheinst auch irgendwie Probleme mit der Unterscheidung zwischen Pluszeichen und Malzeichen zu haben.
Dein Ergebnis stimmt leider nicht.

Grüße.

06.09.2013, 20:33

Leopold

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Wenn man mit einer Funktion $\begin{eqnarray*} u = u(x) \end{eqnarray*}$ die Substitution

$\begin{eqnarray*} y = u \cdot \operatorname{e}^{2x} + ax + b \end{eqnarray*}$

durchführt, wobei die Parameter $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ geeignet zu bestimmen sind, dann geht die Differentialgleichung über in

$\begin{eqnarray*} (10u + 6u' + u'' - 1) \cdot \operatorname{e}^{2x} + (2a-3)x + 2(a+b) = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt wählt man $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ so, daß die beiden letzen Summanden verschwinden, und hat noch

$\begin{eqnarray*} 10u + 6u' + u'' = 1 \end{eqnarray*}$

zu lösen. Man sieht eine konstante Funktion als offensichtliche Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung. Die Lösungen der homogenen Differentialgleichung findet man in gewohnter Weise. Zum Schluß wird $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ dann oben bei $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

07.09.2013, 11:03

Mario1234

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RE: Ansatz für partikuläre Lösung
Ja Kasen da hast Du Recht, so sieht die richtige Gleichung aus:

$\begin{eqnarray*} Yp=3x+e^{2x} *(a1*x+a0)=e^{2x} *(3x*a1*x+3x*a0) \end{eqnarray*}$

Die Formeln für den Ansatz sind diese:

http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/...onst_Koeff.html

Es geht um den Kasten 4... Ich stelle mir es so vor... da Beta 0 ist verschwindet der Sinus der Cosinus wird zu 1, es bleibt eine Polynomfunktion vom Grade 1....zwei mal Ableiten, einsetzten und Gleichungssystem aufstellen ....... aber ich bekomme da nur das o.g. Ergebnis raus...

07.09.2013, 12:57

Mario1234

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RE: Ansatz für partikuläre Lösung
$\begin{eqnarray*} Yp=3x+e^{2x} *(a1*x+a0)=e^{2x} *(3x^2*a1x+3xa0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+e^{2x}=e^{2x} *(3x^2*a1x+3xa0) | e^{2x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x=(3x^2*a1x+3xa0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3=(3xa0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=(3x^2*a1x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a1=0 , a0 = 1 \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt richtig?

07.09.2013, 13:03

Kasen75

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Der 4. Ansatz ist nicht der richtige Ansatz. Es fehlt im Prinzip noch ein Satz unter der Tabelle:" Ist ein Störglied die Summe von zwei links in der Tabelle auftretenden Funktionen, dann sind die jeweiligen Ansätze für $\begin{eqnarray*} y_p \end{eqnarray*}$ zu addieren.

Somit ist $\begin{eqnarray*} y_p=A \cdot e^{2x}+Bx+C \end{eqnarray*}$

Somit muss man $\begin{eqnarray*} y_p \end{eqnarray*}$ jetzt zweimal ableiten. Die entsprechenden Ausdrücke in die DGL einsetzen und einen Koeffizientenvergleich durchführen.

Unabhängig vom Ansatz stimmt diese Gleichung $\begin{eqnarray*} Yp=3x+e^{2x} *(a1*x+a0)=e^{2x} *(3x*a1*x+3x*a0) \end{eqnarray*}$ nicht. Das Gleichheitszeichen ist hier nicht gerechtfertigt.

07.09.2013, 13:43

Mario1234

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Ok ich hoffe so ist es jetzt richtig?

07.09.2013, 13:52

Kasen75

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Du hast die partikuläre Lösung richtig bestimmt Freude

- allerdings für das Störglied $\begin{eqnarray*} e^{2x}+2x \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich das richtig sehe, wolltest du die DGL mit dem Störglied $\begin{eqnarray*} e^{2x}+3x \end{eqnarray*}$ berechnen. Das kannst du ja nochmal zur Übung machen.

07.09.2013, 13:59

Mario1234

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Herzlichen Dank für Deine Hilfe, werde später noch zwei drei Augaben machen und hochladen. Wäre nett wenn Du Dir dass das nochmal anschauen würdest damit ich dann sicher bin dass ichs verstanden hab. Die Information mit der Addition der Störgliedansätze war aber schon mal Gold wert.

Herzlichen Dank!

07.09.2013, 14:09

Kasen75

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Freut mich, das bis hierhin schon vieles klarer geworden ist. smile

Wenn du deine beiden neuen Aufgaben postest, dann bitte als neues Thema. Nicht, dass ich die gerne kontrollieren würde, aber die Boardregeln verlangen es nun mal so.
Zum Glück gibt es genug kompetente Mitglieder hier an Board, die dir bei den neuen Aufgaben weiterhelfen können-und auch werden.
Falls ich also nicht auf dein neues Thema antworte, dann war ich einfach nur zu langsam. Augenzwinkern

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