Cantor-Funktion und Cantor-Menge

06.09.2013, 21:48

Studentu

Cantor-Funktion und Cantor-Menge

Meine Frage:
Hallo Mathematiker, ich bin's nochmal mit ner Frage:
Ich versteh die Cantormenge nämlich nicht und hab entsprechende Beispiele bis jetzt immer ausgelassen. Nur würde ich nun doch gerne wissen, was es damit eigentlich auf sich hat.
Ich weiß, dass die Cantor-Menge gegeben ist durch $\begin{eqnarray*} x=\sum_{i=1}^\infty\frac{x_i}{3}, x_i \in \{0,2\}, i \in N \end{eqnarray*}$ und dass da immer das Drittel in der Mitte wegfällt, aber ich verstehe einfach nicht, wie ich mir das dann konkret, also wenn ich Zahlen in die Formel einsetze, vorstellen kann? Wie kommt man rechnerisch auf die Zahlen der Cantor-Menge?
Ist $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ immer 0 und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ immer 2 und das nächste wieder 0, dann wieder 2 usw? (vermute stark, dass das nicht der Fall ist, weil damit würde ich 1/3 nicht erreichen) Könnte mir das vielleicht jemand anhand der ersten paar $\begin{eqnarray*} x_is \end{eqnarray*}$ veranschaulichen?
Für die Cantor-Funktion $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty \frac{x_i/2}{2^i} \end{eqnarray*}$ ist mir dasselbe unklar und, ob ich da für x dann das x aus der Cantormenge einsetzen muss und was dann wieder die $\begin{eqnarray*} x_is \end{eqnarray*}$ sind?

Meine Ideen:
Ich stelle die Angabe des Beispiels, um das es mir eigentlich geht, inzwischen noch nicht rein, denn vlt. wird es mir klarer, wenn ich das Grundprinzip der Cantor-Menge und -Funktion erst einmal verstanden habe.
Also danke schon mal an alle, die sich damit auskennen (:

08.09.2013, 14:47

Leopold

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RE: Cantor-Funktion und Cantor-Menge

Zitat:

Original von Studentu
Ist $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ immer 0 und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ immer 2 und das nächste wieder 0, dann wieder 2 usw? (vermute stark, dass das nicht der Fall ist, weil damit würde ich 1/3 nicht erreichen)

Nein, natürlich nicht. Deine Zweifel sind da ganz berechtigt. Von Regelmäßigkeit ist nicht die Rede, nur davon, daß im Ternärbruch bei keiner Stelle die Ziffer $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ vorkommen darf. Das ist alles.

Beispiele (die Kommadarstellungen sind nicht als Dezimal-, sondern als Ternärbrüche aufzufassen, bei den gemeinen Brüchen wird das Dezimalsystem verwendet):

$\begin{eqnarray*} 0{,}0 \overline{2} = 0{,}0222222222 \ldots = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0{,} \overline{02} = 0{,}0202020202 \ldots = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0{,} 2 \overline{202} = 0{,}2202202202 \ldots = \frac{12}{13} \end{eqnarray*}$

Das waren jetzt Beispiele für periodische Ternärbrüche, also rationale Zahlen, die zum Cantorschen Diskontinuum gehören.
Im folgenden Ternärbruch folgt nach jeder $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ein Block von Nullen, dessen Ziffernanzahl jeweils um 1 ansteigt:

$\begin{eqnarray*} 0{,}20200200020000 \ldots \end{eqnarray*}$

Dieser Ternärbruch ist nicht periodisch, stellt also eine irrationale Zahl des Cantorschen Diskontinuums dar.

Jetzt noch Beispiele für Zahlen, die dem Cantorschen Diskontinuum nicht angehören:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} = 0{,} \color{red} \overline{1} \color{black}= 0{,} \color{red} 1111111111 \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} = 0{,}022 \color{red} 1 \color{black}2 \color{red} 1 \color{black} 00 \color{red} 1 \color{black} 0 \ldots \end{eqnarray*}$

Bei den beiden letzten Beispielen ist natürlich nicht entscheidend, daß es Darstellungen mit Einsen gibt, sondern daß es keine Darstellungen ohne Einsen gibt. Bedenke die Mehrdeutigkeit bei Periode $\begin{eqnarray*} \overline{2} \end{eqnarray*}$ (ähnlich wie bei Dezimalbrüchen mit Periode $\begin{eqnarray*} \overline{9} \end{eqnarray*}$ ).

11.09.2013, 19:00

Studentu

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Wieder Mal Danke für deine Hilfe, Leopold!

Jetzt beginne ich allmählich, die Cantor-Menge zu verstehen.
Folgendes würde mich aber noch interessieren:
1.) Wie komme ich von z.B. 1/3 zur Darstellung 0,022222222... im ternären System?
2.) Inwiefern hängt die Cantor-Funktion mit der Cantor-Menge zusammen? (Also was macht sie mit der Cantor-Menge?)
3.) Wie fällt da dann immer das Drittel in der Mitte weg, wie kann man sich das vorstellen, was für Zahlen werden da eingesetzt? (Die Zeichnung dazu kenne ich.)
4.) Was hast du gemeint mit der Mehrdeutigkeit der Periode $\begin{eqnarray*} \overline2 \end{eqnarray*}$ ?

Sry, dass es so viele Fragen sind, aber ganz blicke da noch nicht durch...
LG

12.09.2013, 17:00

Leopold

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Denke an die Periode $\begin{eqnarray*} \overline{9} \end{eqnarray*}$ bei Dezimalbrüchen:

$\begin{eqnarray*} 0{,} \overline{9} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0{,}34 \overline{9} = 0{,}35 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0{,}9607 \overline{9} = 0{,}9608 \end{eqnarray*}$

Wenn man die der Periode $\begin{eqnarray*} \overline{9} \end{eqnarray*}$ vorangehende Stelle um $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ erhöht und die Periode abschneidet, erhält man einen abbrechenden Dezimalbruch mit demselben Wert. Das ist die einzige Mehrdeutigkeit bei der Darstellung reeller Zahlen durch Dezimalbrüche.

Und bei den Ternärbrüchen übernimmt die Periode $\begin{eqnarray*} \overline{2} \end{eqnarray*}$ diese Rolle:

$\begin{eqnarray*} 0{,} \overline{2} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0{,}211 \overline{2} = 0{,} 212 \end{eqnarray*}$ (dreiundzwanzig Siebenundzwanzigstel)

$\begin{eqnarray*} 0{,}0 \overline{2} = 0{,}1 \end{eqnarray*}$ (ein Drittel)

Das folgt sofort mit der geometrischen Reihe: $\begin{eqnarray*} 0{,}0 \overline{2} \end{eqnarray*}$ steht für den Wert (jetzt wieder die übliche Zahlenschreibweise)

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3^2} + 2 \cdot \frac{1}{3^3} + 2 \cdot \frac{1}{3^4} + \ldots = \frac{2}{9} \cdot \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \ldots \right) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Und da es im Tenärsystem eine Darstellung für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ nur mit den Ternärziffern $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ gibt, gehört $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ zur Cantormenge.

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