Normalgleichung

07.09.2013, 15:19

küb

Normalgleichung

Meine Frage:
Hallo Leute,

könnte vllt jemand überprüfen, ob das, was ich soweit gemacht habe, stimmt?

Aufgabe:

In einem Experiment werden für verschiedene Zeitpunkte t die Messwerte x gemessen. Aus der Theorie ist bekannt, dass die Messwerte einem Gesetz der Form $\begin{eqnarray*} x(t)=c*t+d \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c,d \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ genügen. Gemessen wurden die in folgender Tabelle eingetragenen Werte:

t = -1, 0, 1, 2
x = 2, 0, -3, -5

a) Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem auf für die unbekannten Parameter $\begin{eqnarray*} c, d \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und schreiben Sie dieses in Matrix-Form.

Ich habe geschrieben:

$\begin{eqnarray*} (1) x(-1) = 2 = -c+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2) x(0) = 0 = d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3) x(1) = -3 = c+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (4) x(2) = -5 = 2*c + d \end{eqnarray*}$

In Matrix-Form:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) Stellen Sie die Normalgleichung auf, so dass nach dem Prinzip der kleinsten Fehlerquadrate c und d am besten approximiert werden.

Jetzt war ich mir nicht so sicher:

Ich habe aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \\ -5 \end{pmatrix} = \vec 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich das ja so umschreiben, dass c und d am besten approximiert werden. Wie mache ich das?

Wir hatten uns aufgeschrieben $\begin{eqnarray*} || A * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - b || \end{eqnarray*}$ In meinem Fall wäre x_1 = c und x_3 = d

Dann so weiter?

$\begin{eqnarray*} || A * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - b || = \sqrt{<|| A * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - b ||,|| A * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - b ||>} = \sqrt{(A * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - b)^T * (A * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - b)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{(\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \\ -5 \end{pmatrix})^T * (\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \\ -5 \end{pmatrix})} \end{eqnarray*}$

c) Lösen Sie die Normalgleichung und geben Sie die damit gefundene Gleichung für x(t) an.

Kann ich ja dann erst machen, wenn ich die Normalgleichung habe..

Meine Ideen:

07.09.2013, 16:46

zweiundvierzig

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Die Normalengleichung lautet $\begin{eqnarray*} A^TAx = A^Tb \end{eqnarray*}$ und ist äquivalent zu dem Minimierungsproblem $\begin{eqnarray*} \Vert Ax - b \Vert_2 \to \mathrm{min} \end{eqnarray*}$ .

07.09.2013, 16:59

küb

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Ja, das habe ich doch angewendet..

$\begin{eqnarray*} || A * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - b || = .. \end{eqnarray*}$

Nur, wie komme ich auf das x ?

07.09.2013, 18:29

Kasen75

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@küb

wenn man dann deinen Ansatz weiterverfolgt, dann kannst du so weitermachen:

Ich würde die Wurzeln weglassen:

$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{\left(\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \\ -5 \end{pmatrix}\right)^T} * \left( \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \\ -5 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du den blauen Ausdruck berechnen. Danach den anderen Ausdruck. Die berechneten Ausdrücke werden dann multipliziert. Beachte dabei, das bei dem blauen Ausdruck ein T steht.

Das Ergebnis der beiden Ausdrücke unterscheiden sich nur dadurch, dass der vordere Ausdruck transformiert ist-was irgendwie logisch ist.

07.09.2013, 18:55

küb

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Okay, ich komme dann auf:

$\begin{eqnarray*} 6*c^2+c*(4*d+30)+4*d^2+12*d+38 \end{eqnarray*}$

Und jetzt?

07.09.2013, 19:07

Kasen75

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Ich komme auf das gleiche Ergebnis.

Diesen Ausdruck jetzt jeweils nach c und d partiell ableiten. Diese Ableitungen gleich 0 setzen. Danach dieses kleine Gleichungssystem lösen.

07.09.2013, 19:12

küb

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Ich komme auf:

c= -12/5
d= -3/10

07.09.2013, 19:23

Kasen75

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Auch das habe ich.

Du hättest im Übrigen auch diesen Ausdruck minimieren können:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4 (x_i-c\cdot t_i-d)^2 \end{eqnarray*}$

Dann wärst du auf die gleichen Normalengleichungen gekommen.

07.09.2013, 19:29

küb

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Indem ich c und d berechnet habe, habe ich ja eig. Aufgabe c) gelöst.

Bis zu welchem Teil wäre denn Aufgabe b) ?

07.09.2013, 19:43

Kasen75

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Zitat:

Original von küb

Bis zu welchem Teil wäre denn Aufgabe b) ?

Bis zum Nullsetzen der beiden partiellen Ableitungen. Diese beiden Gleichungen sind dann die Normalengleichungen.

07.09.2013, 19:54

küb