Alle Folgen x_n --> infty

07.09.2013, 20:54

Nighel123

Alle Folgen x_n --> infty

Moin,

Sei $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in N} \end{eqnarray*}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray*} x_n \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = \infty \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} K \in \mathbb R_+\setminus \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ gilt die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} |f(x_n)| \leq K |g(x_n)|\,\,\,\,\,\,\,\, \forall n \geq N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Kann ich dann daraus schließen, dass auch gilt

$\begin{eqnarray*} |f(x)| \leq K |g(x)| \,\,\,\,\,\,\,\, \forall x \geq x_N := R \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dafür muss ich doch erst beweisen, dass es zu jeder Zahl $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in N} \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in \left\{ x_n:n\in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$

Hab ich das bewiesen indem ich sage $\begin{eqnarray*} x \in \left\{ x_n:n\in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n := x+n \end{eqnarray*}$ ???

07.09.2013, 21:33

Guppi12

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So wie die Aufgabe hier steht, ist die Aussage falsch.
Gib bitte den gesamten Aufgabentext korrekt wieder.

07.09.2013, 21:57

Nighel123

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RE: Alle folgen x_n --> infty
Es geht um den Beweis zur Äquivalenz von des Landau Symbols $\begin{eqnarray*} f(x) = O(g(x)) \end{eqnarray*}$

zu $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } sup \vert \frac{f(x)}{g(x)} \vert < \infty \end{eqnarray*}$

Siehe Anhang 1 (Druckschrift)

Beim Beweis komme ich bei der Richtung $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ auf den im ersten Beitrag genannten Schritt.

Siehe Anhang 2 (Handschrift)

Edit: im Anhang 2 ist das Intervall $\begin{eqnarray*} [a, \infty ] \end{eqnarray*}$ zu korrigieren zu $\begin{eqnarray*} ]a, \infty [ \end{eqnarray*}$

07.09.2013, 22:37

Guppi12

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Welchen Schritt meinst du genau? Ich möchte mich jetzt nicht in dem kompletten Beweis reinfuchsen.

Das hier(aus deinem ersten Beitrag etwas formaler aufgeschrieben):

Seien $\begin{eqnarray*} f,g: (a, \infty)\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und es gebe $\begin{eqnarray*} K\in\mathbb{R}_{> a} \end{eqnarray*}$ und eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ reeller Zahlen und $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |f(x_n)| \leq K|g(x_n) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt: $\begin{eqnarray*} |f(x)| < K|g(x)| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\geq x_N \end{eqnarray*}$ .

Stimmt nicht!

Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} f: [0, \infty)\to\mathbb{R}, x\mapsto x\sin(\pi x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g: [0, \infty)\to\mathbb{R}, x \mapsto 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_n := n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Es gilt sicherlich $\begin{eqnarray*} |f(x_n)| = |x\sin(n\pi)| = 0 \leq 1 = |g(n)| = |g(x_n)| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , aber natürlich nicht $\begin{eqnarray*} |f(x)| \leq |g(x)| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in(a, \infty) \end{eqnarray*}$ , wobei a hier beliebig ist, da f natürlich unbeschränkt ist.

07.09.2013, 22:45

Nighel123

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Hm mist stimmt... :S

Es geht um den letzen schritt bei $\begin{eqnarray*} "\Leftarrow " \end{eqnarray*}$

07.09.2013, 23:08

Guppi12

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Du brauchst aber eigentlich garkeinen Umweg über Folgen zu gehen.

Gilt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty}\sup\limits_{t\geq x} \left | \frac{f(t)}{g(t)}\right| = K <\infty \end{eqnarray*}$ ,

so findest für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_0 > 0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < K+\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\geq x_0 \end{eqnarray*}$

07.09.2013, 23:17

Nighel123

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In dem Buch "Analysis 1" von Otto Forster, ist aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) := \lim_{n \to \infty} f(x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} lim\,\, x_n = \infty \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert für Funktionen wird also auf den Grenzwert für Folgen zurückgeführt.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x) =K \end{eqnarray*}$ ist direkt gar nicht definiert worden als:

Zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} |f(x)-K|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

07.09.2013, 23:20

Guppi12

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Dort steht mit Sicherheit nicht, dass es reicht, wenn dieser Grenzwert für eine einzige Folge existiert.

07.09.2013, 23:33

Nighel123

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Ne der soll für alle Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in N} \end{eqnarray*}$ mit den Eigenschaften $\begin{eqnarray*} x_n \in \mathbb ]a,\infty [ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = \infty \end{eqnarray*}$ existieren.

Siehe Anhang

07.09.2013, 23:39

Guppi12

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Ja, ich kenne diese Definition, deswegen sagte ich dir ja, das es so, wie du schriebst, nicht stimmt. Augenzwinkern

Es gibt aber andere äquivalente. Wenn du das unbedingt so machen möchtest, könntest du deinen Beweis ja vielleicht so modifizieren, dass die gewünschte Eigenschaft nicht nur für eine Folge, sondern für alle mit den richtigen Vorraussetzungen gilt. Ich weiß nicht, ob das bei dir geht, weil ich mir deinen Beweis wie gesagt noch nicht so genau angeschaut habe.

07.09.2013, 23:57

Nighel123

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Vielleich drücke ich mich mathematisch nicht konventionell aus. Ich habe aber überall nur die Eigenschaften

$\begin{eqnarray*} x_n \in \mathbb ]a,\infty [ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = \infty \end{eqnarray*}$

benutzt. Also gilt das alles für alle Folgen mit diesen Eigenschaften.

Ich "meinte" auch nirgendwo, dass ich nur eine Folge finden muss für die der Grenzwert existiert.

Heißt

"In dem Buch "Analysis 1" von Otto Forster, ist aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) := \lim_{n \to \infty} f(x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} lim\,\, x_n = \infty \end{eqnarray*}$ "

dass das nur für eine explizite Folge gelten muss?

Ich hätte jetzt gedacht dass man schreiben muss, wenn man sagen will, dass das nur für eine Folge gelten muss: falls eine Folge existiert mit lim x_n = \infty .... und lim f(x_n) < \infty...

08.09.2013, 00:04

Guppi12

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Zuerst mal zu deinem Problem:

Zitat:

Also gilt das alles für alle Folgen mit diesen Eigenschaften.

Gut, dann musst du das explizit aufschreiben, dass du dir nicht eine Folge raussuchst, sondern, dass das gewünschte für alle Folgen mit diesen Voraussetzungen gilt. Das muss da explizit stehen (tut es ja in der alten Version nicht).

Jetzt zu der Definition. Wenn der Limes $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} f(x_n) \end{eqnarray*}$ für alle Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit den genannten Voraussetzungen existiert. $\begin{eqnarray*} Dann \end{eqnarray*}$ kannst du dir eine einzige beliebige Folge raussuchen, um den Grenzwert tatsächlich zu berechnen. Damit dass funktioniert, muss die Existenz des Grenzwerts aber erstmal gesichert sein(eben zum Beispiel dadurch, dass man weiß, dass er für alle Folgen existiert).

08.09.2013, 00:39

Nighel123

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Hast du denn einen Vorschlag wie ich aus

$\begin{eqnarray*} |f(x_n)| \leq K |g(x_n)|\,\,\,\,\,\,\,\, \forall n \geq N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} K \in \mathbb R_+\setminus \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ und für alle Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in N} \end{eqnarray*}$ mit den Eigenschaften $\begin{eqnarray*} x_n \in ]a, \infty[ \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = \infty \end{eqnarray*}$

darauf schließen kann, dass

$\begin{eqnarray*} |f(x)| \leq K |g(x)| \,\,\,\,\,\,\,\, \forall x \geq R \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

gilt?

08.09.2013, 00:50

Guppi12

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Gewöhne dir an, genau zu schreiben.

Was du hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |f(x)| \leq K |g(x)| \,\,\,\,\,\,\,\, \forall x \geq R \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

eigentlich schreiben willst, ist:

Es existiert $\begin{eqnarray*} R\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |f(x)| \leq K |g(x)| \,\,\,\,\,\,\,\, \forall x \geq R \end{eqnarray*}$ .

Nun, nimm mal an, das wäre nicht der Fall, es gäbe also für alle $\begin{eqnarray*} R\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x>R \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |f(x)| > K |g(x)| \end{eqnarray*}$ . Baue dir jetzt selbst eine Folge zusammen: Wähle nach obiger Annahme $\begin{eqnarray*} x_n\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} x_n > R_n := n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f(x_n)| > K |g(x_n)| \end{eqnarray*}$ .

Fällt dir damit was auf?

08.09.2013, 02:44

Nighel123

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Sorry, bin mir nicht sicher ob ich das richtig verstehe. Ich mache jetzt die Annahme für alle $\begin{eqnarray*} R \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} x>R \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |f(x)|>K|g(x)| \end{eqnarray*}$ .
Diese Annahme führe ich zum Wiederspruch. D.h. es existiert ein $\begin{eqnarray*} R \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ für dass es kein $\begin{eqnarray*} x > R \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} |f(x)|>K|g(x)| \end{eqnarray*}$ . Aber wenn ich mir jetzt eine Folge baue zeige ich dass doch nicht für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Hab jetzt einfach mal einen Versuch gewagt

Sei

$\begin{eqnarray*} x_n > R_n := n \end{eqnarray*}$

wegen

$\begin{eqnarray*} |f(x_n)| \leq K |g(x_n)|\,\,\,\,\,\,\,\, \forall n \geq N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

gilt für

$\begin{eqnarray*} x_N > R_N:= N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f(x_N)| \leq K |g(x_N)| \end{eqnarray*}$

für alle Folgen mit $\begin{eqnarray*} x_n > R_n := n \end{eqnarray*}$

Aber jetzt steh ich doch vor dem selben Problem. verwirrt

08.09.2013, 12:30

Guppi12

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Du hast das ja auch nicht so gemacht, wie ich vorgeschlagen hatte:

Zitat:

Nun, nimm mal an, das wäre nicht der Fall, es gäbe also für alle $\begin{eqnarray*} R\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x>R \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |f(x)| > K |g(x)| \end{eqnarray*}$ . Baue dir jetzt selbst eine Folge zusammen: Wähle nach obiger Annahme $\begin{eqnarray*} x_n\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} x_n > R_n := n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f(x_n)| > K |g(x_n)| \end{eqnarray*}$ .

08.09.2013, 12:51

Nighel123

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Ahh !

Nach Annahme gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} R_n:=n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x > R \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |f(x)|>K |g(x)| \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ die Folge dieser x. Es gilt also $\begin{eqnarray*} |f(x_n)|>K |g(x_n)| \end{eqnarray*}$

Es gilt aber wegen $\begin{eqnarray*} f(x_n)| \leq K |g(x_n)| \,\,\,\,\,\,\, \forall n \geq N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f(x_N)|\leq K |g(x_N)| \end{eqnarray*}$ . Also ein Wiederspruch. Also existiert $\begin{eqnarray*} R \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ so dass gilt $\begin{eqnarray*} |f(x)|\leq K |g(x)| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x > R \end{eqnarray*}$

08.09.2013, 12:54

Guppi12

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Ja.

Edit: Dein Edit ist nicht so toll.. vorher war es gut, danach wieder nicht.

08.09.2013, 12:55

Nighel123

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Danköschön! smile

Edit: Ok, habs wieder weg gemacht

08.09.2013, 13:11

Guppi12

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Ich möchte das jetzt nochmal zusammenfassen:

Wir haben:

Für jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}x_n = \infty \end{eqnarray*}$ gibt es $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} |f(x_n)| \leq K|g(x_n)| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ . Dieses $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ hängt aber von der Folge ab, es gibt kein allgemeingültiges für alle Folgen.

Jetzt nehmen wir an, dass folgendes nicht gilt:

Es gibt $\begin{eqnarray*} R>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} x>R \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |f(x)| \leq K|g(x)| \end{eqnarray*}$ .

Dann können wir aber folgendes machen:

Wir finden zu $\begin{eqnarray*} R_n := n \end{eqnarray*}$ immer ein zugehöriges $\begin{eqnarray*} x_n > R_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |f(x_n)| > K|g(x_n)| \end{eqnarray*}$ .

Betrachte nun die Folge dieser $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ . Offenbar gilt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}x_n = \infty \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} x_n > n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Diese Folge erfüllt also die Voraussetzungen. Dann finden wir ein zu dieser Folge gehörendes $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |f(x_n)| \leq K|g(x_n)| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n > N \end{eqnarray*}$ , was ein Widerspruch zur Konstruktion der Folge ist.

Worauf ich jetzt insbesondere hinauswill (und was der Grund ist, warum mir dein Edit nicht gefiel) ist, dass man daraus nicht folgern kann, dass die gewünschte Ungleichung bereits für alle $\begin{eqnarray*} x>x_N \end{eqnarray*}$ gilt (wobei $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ hier das zur konstruierten Folge gehörende $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist). Das hattest du so geschrieben und stimmt eben nicht.
Es gibt uns lediglich einen Widerspruch zu obiger Annahme, dass kein $\begin{eqnarray*} R>0 \end{eqnarray*}$ existiert, mit $\begin{eqnarray*} |f(x)| \leq K|g(x)| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>R \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet, dass so ein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ auf jedenfall existiert. Es kann aber viel größer sein, als das konstruierte $\begin{eqnarray*} x_N \end{eqnarray*}$ .

08.09.2013, 13:31

Nighel123

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jo ok seh ich ein!

Danke noch mal!

09.09.2013, 16:04

Nighel123

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Ich hab hier noch einmal versucht die Beweisführung ausführlich aufzuschreiben für einen relativ analogen Beweis zum Landau Symbol O. Ich bin mir aber nicht sicher ob ich das mit dem Wiederspruch richtig gemacht habe. Wär cool wenn du es dir noch einmal anguckst!

Seien $\begin{eqnarray*} f,g: D \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray*} x_n \in D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{ n \to \infty }=x_0 \end{eqnarray*}$ und es gelte
$\begin{eqnarray*} |f(x_n)|\leq (\varepsilon + K) |g(x_n)| \,\,\,\,\,\,\,\, \forall n\geq N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ für alle Folgen $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ mit diesen Eigenschaften mit $\begin{eqnarray*} K \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ . Wobei $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ abhängt.

Ich will nun zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} |f(x)|\leq (\varepsilon + K) |g(x)| \,\,\,\,\,\,\,\, \forall x \in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0|< \delta \end{eqnarray*}$

Beweis.

Sei $\begin{eqnarray*} A_\delta := \left\{ x \in D: |x-x_0|< \delta \right\} \end{eqnarray*}$

Ich nehme an, dass kein $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} |f(x)|\leq (\varepsilon + K) |g(x)| \,\,\,\,\,\,\,\, \forall x \in A_\delta \end{eqnarray*}$

Es gibt also für alle $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \in A_\delta \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} |f(x)|>(\varepsilon + K) |g(x)| \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} \delta := \frac 1 n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ die Folge der $\begin{eqnarray*} x \in A_\delta \end{eqnarray*}$ für die gilt $\begin{eqnarray*} |f(x)|>(\varepsilon + K) |g(x)| \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} x_n \in D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n=x_0 \end{eqnarray*}$ . Nach Vorraussetzungen gibt es aber ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} |f(x_n)|\leq (\varepsilon + K) |g(x_n)| \,\,\,\,\,\,\,\, \forall n\geq N \end{eqnarray*}$ . Also ein Wiederspruch. Daraus folgt, dass ein $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$ existiert, so dass

$\begin{eqnarray*} |f(x)|\leq (\varepsilon + K) |g(x)| \,\,\,\,\,\,\,\, \forall x \in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0|< \delta \end{eqnarray*}$ , also die Behauptung.

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