Grenzwertsätze und Stetigkeitskriterien im R^n - Bedeutung von x0

08.09.2013, 10:46

Lauitita

Grenzwertsätze und Stetigkeitskriterien im R^n - Bedeutung von x0

Meine Frage:
Mir ist die Bedeutung/Definition von X0 in folgendem Zusammenhang nicht ganz klar - daher freue ich mich über Hilfe Augenzwinkern

Seien \vec{x}_{k} und \vec{y}_{k} Folgen im R^n.
Dann gelten folgende Aussagen:
\lim_{k \to \infty } \vec{x} _{k}=\vec{x} _{0}
\Rightarrow \lim_{k \to \infty } | \vec{x} _{k} -\vec{x} _{0} | =0

(...)

Eine Funktion f heißt stetig in x_{0} , wenn für jede Folge \vec{x} _{k} mit \lim_{k \to \infty } \vec{x} _{k}=\vec{x} _{0}
folgendes gilt:

\lim_{k \to \infty } f\left(\vec{x} _{k}\right)=f\left(\lim_{k \to \infty } \vec{x} _{k} \right)=f\left(\vec{x} _{0} \right)

Meine Ideen:
Ist das eine Teilfolge??

08.09.2013, 11:30

Elvis

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RE: Grenzwertsätze und Stetigkeitskriterien im R^n - Bedeutung von x0

Zitat:

Original von Lauitita
Meine Frage:
Mir ist die Bedeutung/Definition von X0 in folgendem Zusammenhang nicht ganz klar - daher freue ich mich über Hilfe Augenzwinkern

Seien $\begin{eqnarray*} \vec{x}_{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{y}_{k} \end{eqnarray*}$ Folgen im $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ .
Dann gelten folgende Aussagen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \vec{x} _{k}=\vec{x} _{0} \Rightarrow \lim_{k \to \infty } | \vec{x} _{k} -\vec{x} _{0} | =0 \end{eqnarray*}$

(...)

Eine Funktion f heißt stetig in $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ , wenn für jede Folge $\begin{eqnarray*} \vec{x} _{k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \vec{x} _{k}=\vec{x} _{0} \end{eqnarray*}$
folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } f\left(\vec{x} _{k}\right)=f\left(\lim_{k \to \infty } \vec{x} _{k} \right)=f\left(\vec{x} _{0} \right) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ist das eine Teilfolge??

Klar gilt das auch für jede gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergente Teilfolge, weil es für jede gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergente Folge gilt - aber darum geht es nicht.
Eine Funktion heißt stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , wenn die Funktionswerte jeder gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergierenden Folge gegen $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ konvergieren.
Mit anderen Worten: Grenzwertbildung und Funktionswertbildung ist vertauschbar.

08.09.2013, 11:35

Lauitita

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Danke, aber das war nicht meine Frage.
Ich würde gerne wissen, was mit x0 gemeint ist. Was ist x0 ?

08.09.2013, 11:39

Elvis

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Ein fester Punkt im R^n. Das geht genau so wie die alte Definition der Stetigkeit reeller Funktionen auf R, die du aus der Schule kennst (oder aus Ana I).

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