Determinante

08.09.2013, 15:32

Determinante

Determinante

Ich habe die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wie sehe ich, dass due Determinante 4 ist, ohne gross zu rechnen?

Danke im Voraus

08.09.2013, 16:48

micha_L

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RE: Determinante
Hallo,

Zitat:

Original von Determinante
Ich habe die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wie sehe ich, dass due Determinante 4 ist, ohne gross zu rechnen?
[...]

Bei der Art der Fragestellung bin ich geneigt zu sagen: Gar nicht.

Man kann bei allen Matrizen der Art

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & \ldots & 1\\ 1 & 0 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \ddots & 1 \\ 1 & 1 & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & 1 & \ddots & 1 & 0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nur anhand der Größe die Determinante bestimmen. Das müsste man aber beweisen. Geht mit vollständiger Induktion.
Wenn es dir nur um die Determinante dieser Matrix geht, kommst du an dem Laplaceschen Entwicklungssatz wohl nicht vorbei (also doch "groß rechnen").

Mfg Michael

08.09.2013, 17:09

Gast02256

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Die vorliegende Matrix hat eine ganz einfache Struktur. Sei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Einheitsmatrix und $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix, deren Einträge sämtlich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ sind.
$\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ hat einen eindimensionalen Eigenraum zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und einen $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ -dimensionalen Kern. Diagonalisiere $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ und du kannst die Determinante ablesen.

Und das alles ohne großes Rechnen. Augenzwinkern

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