Abstand Punkt Ebene

09.09.2013, 13:32

Tobias1994

Abstand Punkt Ebene

Meine Frage:
Hallo,

ich berechne mit Hilfe einer ortogonalen Regression (Methode der kleinsten Quadrate) die Ausgleichsebene zu 4 Punkten im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{3} \end{eqnarray*}$ .
Dabei berechne ich den Mittelpunkt m der Punkte sowie den Normalenvektor n als (nicht normierten) Eigenvektor zum kleinsten Eigenwert der Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix}<br /> (p_{1} - m) && (p_{2} - m) && (p_{3} - m) && (p_{4} - m)<br /> \end{bmatrix} * \begin{bmatrix}<br /> (p_{1} - m) && (p_{2} - m) && (p_{3} - m) && (p_{4} - m)<br /> \end{bmatrix}^{T} \end{eqnarray*}$
Am Ende habe ich die Ebenengleichung also in Hesse-Normalform gegeben.

Ich suche nun zu den 4 Punkten die zugehörigen Punkte auf der Ausgleichsebene. Dafür hatte ich vor, den Abstand der ursprünglichen Punkte entlang des Normalenvektor zur Ebene zu berechnen und diesen Abstand dann zur Bestimmung der Punkte zu benutzen. Hier kommen wir zu meinem Problem: Der Abstandsberechnung.

Meine Ideen:
Im folgenden nehme ich immer $\begin{eqnarray*} p_{1} \end{eqnarray*}$ (das ganze funktioniert dann ja analog für die anderen Punkte).
Der neue Punkt $\begin{eqnarray*} p_{1}^{new} \end{eqnarray*}$ lässt sich dann mit gegebenem Abstand d wie folgt berechnen:
$\begin{eqnarray*} p_{1}^{new} = p_{1} + d * n \end{eqnarray*}$

Ich habe verschiedene Formeln für den Abstand gefunden, wie zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} d = \frac{|n^{T} * (p_{1}-m)|}{|n|} \end{eqnarray*}$
aus: http://www.ina-de-brabandt.de/vektoren/a/abstand-punkt-ebene-formel.html
In diesem Fall würde ich erstmal den Betrag im Zähler weglassen, da ich ja eine Verschiebung in beide Richtungen benötige. Liege ich damit richtig?

Was mich dann noch wundert ist folgendes:
Wenn ich die Formel für den Abstand selbst herleite (ich habe diese auch mal irgendwo gesehen, finde aber die Quelle nicht mehr) komme ich auf eine leicht veränderte Formel. Es muss gelten:
$\begin{eqnarray*} n^{T} * (p_{1}^{new} - m) = 0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} n^{T} * (p_{1} + d * n - m) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n^{T} * p_{1} + n^{T} * d * n - n^{T} * m = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n^{T} * d * n = -n^{T} * p_{1} + n^{T} * m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d = \frac{-n^{T} * p_{1} + n^{T} * m}{n^{T} * n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d = \frac{n^{T} * (m - p_{1})}{n^{T} * n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d = \frac{n^{T} * (m - p_{1})}{|n|^{2}} \end{eqnarray*}$

Sind die beiden Formeln identisch?
Wie berechne ich nun korrekt den Abstand eines Punktes zu einer Ebene?
Ich glaube ich mache irgendwo einen Denkfehler, komme aber gerade einfach nicht drauf. Danke vorab für Hilfe zu dem Thema Augenzwinkern

10.09.2013, 09:15

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abstand Punkt Ebene

Zitat:

Original von Tobias1994
Der neue Punkt $\begin{eqnarray*} p_{1}^{new} \end{eqnarray*}$ lässt sich dann mit gegebenem Abstand d wie folgt berechnen:
$\begin{eqnarray*} p_{1}^{new} = p_{1} + d * n \end{eqnarray*}$

Stimmt nur, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ normiert ist, d.h. $\begin{eqnarray*} |n|=1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Tobias1994
Ich habe verschiedene Formeln für den Abstand gefunden, wie zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} d = \frac{|n^{T} * (p_{1}-m)|}{|n|} \end{eqnarray*}$
aus: http://www.ina-de-brabandt.de/vektoren/a...ene-formel.html
In diesem Fall würde ich erstmal den Betrag im Zähler weglassen, da ich ja eine Verschiebung in beide Richtungen benötige. Liege ich damit richtig?

Ja, und bei dieser Formel ist die Normierung von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nicht nötig, besser gesagt: Sie wird in der Formel mit erledigt.

Mal alles kurz zusammengefasst. Deine Ebenengleichung lautet

$\begin{eqnarray*} E:\quad 0 = n^T(x-m) \end{eqnarray*}$ .

In die Hessesche Normalform (HNF) überführt (d.h. Normierung des Ebenennormalenvektors) ist das

$\begin{eqnarray*} E:\quad 0 = \frac{1}{|n|} n^T(x-m) \end{eqnarray*}$ .

Für eine solche HNF gibt dann

$\begin{eqnarray*} d(p) = \frac{1}{|n|} n^T(p-m) \end{eqnarray*}$

direkt den vorzeichenbehafteten Abstand des Punktes $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ zur Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ an: Positive Werte für Punkte in der Halbebene, in die der Normalenvektor $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hineingerichtet ist, negative Werte in der anderen Halbebene bzgl. der Trennebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Abstand Punkt Ebene

Verwandte Themen