Grenzwert bestimmen - genaues Vorgehen

01.03.2007, 16:33

destynate

Grenzwert bestimmen - genaues Vorgehen

Hallo Leute!

ich versucht gerade meine Mathekenntnisse aufzufrischen und bin gerade beim Thema "Grenzwerte bestimmen".

Jetzt liegt folgende Aufgabe vor mir:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{3-3cos{x}}{x^2} \end{eqnarray*}$

Tja und nun sitze ich halt davor und weiss nicht weiter Big Laugh

-> Man muss doch jetzt irgendwie schauen, gegen welchen Grenzwert das ganze Gerät läuft... und dazu setzt man doch irgendwelche kleinen zahlen für x ein (oder so ähnlich), richtig?

Ich hoffe ich kann diese Aufgabe mit der Hilfe dieses Forums lösen smile

wär super! Wenn ichs einmal wieder drin hab, gehen Aufgaben dieser Art sicherlich wieder etwas leichter von der Hand smile

ps: vorkenntnisse = 0 momentan..

01.03.2007, 17:00

Spiggie

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2 mal l'hospital dürfte helfen

01.03.2007, 17:33

therisen

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Nicht ganz. Wenn man hier 2 mal l'Hospital anwendet, begeht man einen Zirkelschluss. Einmal genügt vollkommen.

Gruß, therisen

01.03.2007, 17:52

Spiggie

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wieso reicht denn einmal? dann hat man doch immer noch 3(sinx)/x...

01.03.2007, 17:58

therisen

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Weil $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x-0}{x-0}=:\sin' 0 \end{eqnarray*}$

Hierin besteht übrigens auch der Zirkelschluss, den man bei der Anwendung von l'Hospital begehen würde.

Gruß, therisen

01.03.2007, 19:06

Spiggie

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ok...

01.03.2007, 20:03

WebFritzi

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Wo ist denn da der Zirkelschluss, wenn man nochmal l'Hospital anwendet? Ist doch OK.

01.03.2007, 20:35

therisen

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Per Definitionem ist dieser Grenzwert der Funktionswert der Ableitung der Sinus-Funktion an der Stelle 0, d.h. $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=:\sin'(0) \end{eqnarray*}$ .
Wenn man die Ableitung der Sinus-Funktion nicht kennt, so ist die Regel von de l'Hospital nicht anwendbar. Kennt man dagegen ihre Ableitung, dann findet man einen Wert der Ableitungsfunktion (nämlich den des Grenzwertes), unter der Voraussetzung, dass man die Ableitung des Sinus, also $\begin{eqnarray*} \sin'(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ , schon kennt.

Einer unserer Professoren hat den Fehler auch gemacht, aber auf meine freundliche E-Mail habe ich bis heute leider noch keine Antwort bekommen Buschmann

01.03.2007, 21:02

WebFritzi

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Zitat:

Original von therisen
Einer unserer Professoren hat den Fehler auch gemacht, aber auf meine freundliche E-Mail habe ich bis heute leider noch keine Antwort bekommen Buschmann

Das ist kein Fehler! Die Regel von l'Hospital ist ein Satz. Den kann man hier anwenden, denn sowohl Nenner als auch Zähler haben den Grenzwert Null. Es stellt sich dann heraus, dass nach Anwendung des Satzes

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\sin'(x) \end{eqnarray*}$

rauskommt. Nun weiß man, dass sin' = cos ist und ist fertig. Da steckt natürlich dein Verfahren mit drin. Aber es ist kein Fehler, das so zu machen.

01.03.2007, 21:27

therisen

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So so, und die Existenz unendlich vieler Primzahlen folgerst du wohl aus der Irrationalität von $\begin{eqnarray*} \mathbb \pi^{2t}, \quad t\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

"Fehler" ist vielleicht etwas zu heftig ausgedrückt, aber ein Zirkelschluss ist und bleibt es für mich. Mit dieser Meinung stehe ich übrigens nicht alleine da:

Referat + Regel von L'Hospital
Grenzwertberechnung
Grenzwert = r
lim
Grenzwert und ableitung

usw.

Gruß, therisen

01.03.2007, 21:45

WebFritzi

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Tja, da steht überall, dass man mit l'Hospital die Ableitung von sin mit Hilfe der Ableitung berechnet. Das stimmt aber nicht! Man berechnet die Ableitung von sin in Null mit Hilfe der Ableitung von sin in einer punktierten Umgebung von Null, also in

$\begin{eqnarray*} (-\varepsilon,0) \cup (0,\varepsilon). \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt also sin'(x) für x aus IR\{0} kenne, dann kann ich l'Hospital verwenden, um sin'(0) zu berechnen.

02.03.2007, 00:36

destynate

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äähm ja also... was auch immer ihr da diskutiert smile

Das hilft mir bei der Lösung der Aufgabe auch nicht weiter *g*

ich habe also die ausgangsfunktion vor mir:

wie finde ich jetzt raus gegen welchen wert die Funktion strebt?

alles was ich bisher weiss ist die tatsache, das wenn der zähler & der Nenner gegen 0 bzw unendlich strebt die L'Hospital Regel anzuwenden ist.

L'Hospital ist ja ansich nur die Ableitung des nenners / zählers oder?

02.03.2007, 01:33

mYthos

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Der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \end{eqnarray*}$

muss á priori (von vornherein) bewiesen werden/worden sein, denn dies wird ja dann dazu verwendet, um die Ableitung der Sinusfunktion zu ermitteln. Das ist auch die Ursache des Zirkelschlusses.

Der klassische Beweis erfolgt im Einheitskreis bei kleinen (positiven) x unmittelbar aus der folgenden Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \sin x \leq x \leq \tan x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \geq \frac{\sin x}{x} \geq \cos x \end{eqnarray*}$

und damit wird der Bruch in der Mitte zwangsläufig für $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ !

Deswegen muss in der Aufgabe bereits die einmalige Anwendung von L' Hospital zu Ziel führen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \ldots = \lim_{x \to 0} \frac{3\sin x}{2x} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

mY+

02.03.2007, 08:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von WebFritzi
Das ist kein Fehler! Die Regel von l'Hospital ist ein Satz. Den kann man hier anwenden, denn sowohl Nenner als auch Zähler haben den Grenzwert Null. Es stellt sich dann heraus, dass nach Anwendung des Satzes

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\sin'(x) \end{eqnarray*}$

rauskommt. Nun weiß man, dass sin' = cos ist und ist fertig. Da steckt natürlich dein Verfahren mit drin. Aber es ist kein Fehler, das so zu machen.

Ich bin derselben Meinung, sprich in der nochmaligen Anwendung von l'Hospital auf $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ sehe ich keinen Zirkelschluß. Sämtliche Voraussetzungen für den Satz sind erfüllt. Entscheidend für die Anwendung ist, daß man die Ableitung von sin(x) kennt. Es schadet der Sache auch nicht, daß es sich bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ letztlich um einen Differenzenquotienten handelt, so daß aufgrund der Definition der Ableitung klar ist, daß dieser sin'(0) ist.

Allgemein kann man sagen: ist f(x) eine in einer Umgebung von 0 stetig differenzierbare Funktion mit f(0)=0, dann gilt mit der Regel von l'Hospital: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0}~\frac{f'(x)}{1} = f'(0) \end{eqnarray*}$

Das gleiche Ergebnis erhält man natürlich auch über den Differenzenquotienten, sofern der Grenzwert überhaupt existiert. Natürlich kann man sagen, daß man hier mit der Anwendung von l'Hospital mit Kanonen auf Spatzen schießt. Dennoch ist die Anwendung zulässig und kein wie auch immer gearteter Zirkelschluß.

@therisen: vielleicht sollten wir einen eigenen Thread aufmachen, um die Diskussion Zirkelschluß oder nicht an separater Stelle zu führen. Mir wäre prinzipiell daran gelegen, da diese Frage hier im Board immer wieder hoch kocht. Es wäre gut, wenn wir Moderatoren da auf eine einheitliche Sichtweise kommen könnten. Vielleicht gelingt uns dies ja. Augenzwinkern

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