Satz von Stokes1

09.09.2013, 20:05

Felix.Cr

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Hallo alle zusammen,

hier die Aufgabe die es zu lösen gilt:

Parametrisieren Sie die von Y umschlossene Fläche und nutzen Sie den Satz von Stokes, um das gesuchte Linienintegral zu berechnen. Ist die Richtung des vektoriellen Flächenelements eindeutig? Was bedeutet
das für Ihr Ergebnis?

[attach]31409[/attach]

Meine Ansatz:

$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=rcos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=rsin(\phi) \end{eqnarray*}$

im Intervall:
$\begin{eqnarray*} 0\geq r \geq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\geq \phi \geq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Nun lautet der Satz von Stokes:

$\begin{eqnarray*} \int_{Rand} \! \vec F \, d \vec x = \int_{Flaeche} \! rot \vec F \, d \vec A \end{eqnarray*}$

Dann wäre die Rotation:
$\begin{eqnarray*} rot \vec F =\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Kurve ist Parameterisiert als:

$\begin{eqnarray*} R(\phi,r)=\begin{pmatrix} 0 \\ rcos(\phi) \\r sin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit wäre das Kreuzprodukt aus $\begin{eqnarray*} \left(\frac{dR}{dr}\right) x \left(\frac{dR}{d\phi}\right) =-r \end{eqnarray*}$

Edit opi: Bild angehängt, Link entfernt. Bilder bitte immer direkt im Board hochladen.

09.09.2013, 20:08

Che Netzer

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Was soll Y sein? Welches Linienintegral ist gesucht?

09.09.2013, 20:23

Felix.Cr

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Die Kurve ist Parameterisiert als:

$\begin{eqnarray*} R(\phi,r)=\begin{pmatrix} 0 \\ rcos(\phi) \\r sin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit wäre das Kreuzprodukt aus $\begin{eqnarray*} \left(\frac{dR}{dr}\right) x \left(\frac{dR}{d\phi}\right) =\begin{pmatrix} -r \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Alles einsetzen ergibt:
$\begin{eqnarray*} \int_{Flaeche} \! \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} r \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}d\phi dr =\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

Stimmt das alles?

09.09.2013, 20:33

Che Netzer

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Zitat:

Original von Che Netzer
Was soll Y sein? Welches Linienintegral ist gesucht?

09.09.2013, 21:11

Felix.Cr

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Das Linienintegral im Vektorfeld F wäre
$\begin{eqnarray*} \int_{C} \! \frac{dr}{d\phi} F(r(\phi) \, d\phi \end{eqnarray*}$

da kommt übrigens das selbe Ergebnis raus... Demnach denke ich mal das es richtig ist...

09.09.2013, 21:14

Che Netzer

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Und was sind nun $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ? unglücklich

unglücklich

Wenn du möchtest, dass man hier deine Frage beantwortet, musst du schon verraten, worum es geht.

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09.09.2013, 21:42

Felix.Cr

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C ist die Strecke - in der Aufgabenstellung also Y und F die Fläche durch die das Vektorfeld F fliesst

09.09.2013, 21:45

Che Netzer

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Zitat:

Original von Felix.Cr
und F die Fläche durch die das Vektorfeld F fliesst

Ah ja... Die Fläche sollte man wohl lieber nicht auch mit $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ bezeichnen. Und welches Vektorfeld soll $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ sein?

09.09.2013, 22:11

Felix.Cr

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$\begin{eqnarray*} F=\begin{pmatrix} y \\ z \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ganz vergessen oben anzugeben..

09.09.2013, 22:20

Che Netzer

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Und genau das war mein Problem Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann mal weiter.
Die Flächenparametrisierung $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ stimmt fast, du hast nur bei der Angabe des Definitionsbereiches $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ geschrieben.
Anschließend hast du das falsche Kreuzprodukt gebildet (die Faktoren bzw. partiellen Ableitung müssen vertauscht werden), das Ergebnis davon ist aber gut. D.h. der Normalenvektor $\begin{eqnarray*} (-r,0,0) \end{eqnarray*}$ ist wünschenswert; der Normalenvektor $\begin{eqnarray*} (r,0,0) \end{eqnarray*}$ hätte die falsche Orientierung. Damit wäre schon der zweite Teil der Aufgabe beantwortet.
Oder habt ihr den Satz von Stokes ohne Beachtung der Orientierung formuliert?
(Ansonsten ist alles in Ordnung)

09.09.2013, 22:46

Felix.Cr

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Ah, super - vielen Dank! okay, aber wie finde ich heraus was beim Kreuzprodukt vorn und was hinten steht? Generell kann man es ja billig vertauschen... axb=-(axb)

09.09.2013, 22:49

Che Netzer

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Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} a\times b=-(b\times a) \end{eqnarray*}$ ...
Der (nicht normierte) Standardnormalenvektor einer Parametrisierung $\begin{eqnarray*} x=x(u,v) \end{eqnarray*}$ ist nunmal $\begin{eqnarray*} x_u\times x_v \end{eqnarray*}$ . D.h. der erste Faktor ist die partielle Ableitung nach dem ersten Argument.

10.09.2013, 10:19

Felix.Cr

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woher weiß ich den, welches das erste Argument ist und welches das Zweite? Ändert schließlich die Orientierung der Fläche..

10.09.2013, 10:34

Che Netzer

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Ja, die Orientierung sollte man so wählen, dass $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (das meinst du wohl mit Y) gerade der positiv orientierte Rand des Flächenstücks ist.
Kann aber auch sein, dass ihr darauf nicht achten sollt, sondern zum zweiten Aufgabenteil "stimmt bis auf Vorzeichen" schreiben sollt.

10.09.2013, 10:35

Felix.Cr

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woher weiß ich den, welches das erste Argument ist und welches das Zweite? Ändert schließlich die Orientierung der Fläche..

Darüberhinaus habe ich noch fragen: Warum ist das Integral über den Rand x nur abhängig von dem Winkel, während die Fläche abhängig von Winkel und dem Radius ist.
Irgendwie kann ich den Zusammenhang am Satz von Stokes nicht erkennen...

Natürlich - eine Fläche erstreckt sich in Zwei Dimensionen und benötigt damit zwei Variablen, während der Rand nur eine benötigt, aber irgendwie komme ich nicht :

von der Allgemeinen zu dem...

$\begin{eqnarray*} \int_{Rand} \! \vec F \, d \vec x =\int_0^{\frac{\pi}{2} } \! \frac{dr}{d\phi} \cdot \vec F(r(\phi)) \, d \phi \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Summe der Teilstücke aufsummiere, müsste es nicht dann der Betrag seiN?

10.09.2013, 10:41

Che Netzer

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Zitat:

Original von Felix.Cr
woher weiß ich den, welches das erste Argument ist und welches das Zweite? Ändert schließlich die Orientierung der Fläche..

Die bestimmst du so, dass die Orientierung stimmt.

Zitat:

Darüberhinaus habe ich noch fragen: Warum ist das Integral über den Rand x nur abhängig von dem Winkel, während die Fläche abhängig von Winkel und dem Radius ist.

Du meinst, wieso man zur Parametrisierung des Randes nur eine Variable braucht?
Mit einem Winkel parametrisiert man hier nur ein Teilstück des Randes.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{Rand} \! \vec F \, d \vec x =\int_0^{\frac{\pi}{2} } \! \frac{dr}{d\phi} \cdot \vec F(r(\phi)) \, d \phi \end{eqnarray*}$

Was soll denn nun $\begin{eqnarray*} r(\phi) \end{eqnarray*}$ sein?

Zitat:

Wenn ich die Summe der Teilstücke aufsummiere, müsste es nicht dann der Betrag seiN?

Und wo möchtest du einen Betrag haben?

10.09.2013, 10:49

Felix.Cr

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Hier mal mein Skript: das erspart mir einiges an Arbeit: Ist die Aufgabe 4! Da ist nochmal alles erklärt, insoweit ich das richtig verstanden habe. Wäre spitze wenn jemand kurz drüber fliegen kann

https://www.dropbox.com/sh/yshf1e6k2a3okg9/yqY-3zcljA

10.09.2013, 10:57

Felix.Cr

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Also, also damit die Orientierung stimmt drehe ich einfach das Kreuzprodukt so, dass aus dem Skalar Produkt eine positive zahl kommt? Also, wenn die rot von F eine negative Zahl ergibt, muss auch das Kreuzprodukt eine negative bzw. nach unten gerichtete Orientierung haben, damit ein positives Ergebnis rauskommt..

10.09.2013, 19:43

Felix.Cr

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$\begin{eqnarray*} r(\phi) \end{eqnarray*}$ ist meine Kurve Y

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