Lagrange - Extrema unter Nebenbedingung

10.09.2013, 00:53	starger	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange - Extrema unter Nebenbedingung Wie bereits zur Richtungsableitung habe auch hier noch ein paar Fragen zum Verständnis: Zur Nebenbedingung: Stellt diese einfach nur die Auswahl der Punkte dar, die ich dann einer Extremwertbetrachtung unterziehe? Wenn ich die Lagrange-Funktion bilde, was genau passiert dann anschaulich? Habe ich z.B. eine Nebenbedingung ( g(x)=...=0 ), dann passiert doch im Prinzip Nichts, oder liege ich da falsch? Der Lagrange Multiplikator soll die Parallelität der Gradienten herstellen, doch leider verstehe ich das nicht so ganz. Wenn ich z.B. unter der Nebenbedingung einer Geraden die stationären Punkte einer Parabel (mehrdimensional) berechnen möchte, dann können doch die beiden Gradienten an max. 2 Stellen parallel sein?
10.09.2013, 10:33	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Höhenprofil eines Gebirges kann man als Funktion z=z(x,y) über der xy-Ebene auffassen. Betrachtet man als Gebirge z.B. den Harz, so ist dessen absolutes Maximum der Brocken mit der Höhe z=1141m. Entlang eines Wanderweges, der nicht über den Brocken führt, gibt es ebenfalls gewisse Maxima, die tiefer liegen als der Brocken. Diesen Wanderweg kann man mathematisch als Kurve g(x,y)=c darstellen, welche formal die Nebenbedingung ist. Die Lagrangesche Methode beruht auf folgender Tatsache, die man sich anschaulich gut vorstellen kann: An jedem Wegmaximum steht die momentane Wanderrichtung senkrecht auf der Richtung des maximalen Anstieges (wenn man den Weg an dieser Stelle verlassen dürfte). Versuche mal, dir das vorzustellen. Ich schätze dass Lagrange seine Methode so gefunden hat. Er war schon sehr scharfsinnig.
10.09.2013, 19:41	starger	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich vermute ich habe es begriffen: Wenn ich also entlang eines Weges g durch eine Gebirgslandschaft f gehe, dann zeichnet mein Weg ein Höhenprofil. Überall dort, wo die Tangente meiner Profilkurve orthogonal zum Gradienten von f steht, habe ich also stationäre Punkte. An diesen Punkten laufen die Gradienten der Nebenbedingung g und der Funktion f parallel, wobei Lambda die Länge der beiden Vektoren angleicht. Ist das so korrekt? Wenn ja, wieso muss die Länge angegelichen werden?
11.09.2013, 12:52	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast es richtig verstanden: An Extrempunkten des Wanderweges zeigt der größte Anstieg $\begin{eqnarray} \nabla z(x,y) \end{eqnarray}$ des Gebirges z(x,y) in diejenige Richtung, die senkrecht auf dem Wanderweg g(x,y)=c steht, also in Richtung $\begin{eqnarray} \nabla g(x,y) \end{eqnarray}$ . Folglich existiert ein $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , so dass gilt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \tfrac{\partial z}{\partial x} \\ \tfrac{\partial z}{\partial y} \end{pmatrix} =\lambda \cdot \begin{pmatrix} \tfrac{\partial g}{\partial x} \\ \tfrac{\partial g}{\partial y} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Weiterhin muss natürlich sichergestellt werden, dass der gesuchte kritische Punkt auf dem Wanderweg liegt, also g(x,y)=c Diese 3 Gleichungen bilden ein Gleichungssystem für die 3 Variablen $\begin{eqnarray} x,y,\lambda \end{eqnarray}$ . Die Lösungen x,y sind die gesuchten kritsichen Punkte. Die Variable $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist ein Nebenprodukt, das man am Ende nicht benötigt. Lagrange merkte, dass man auf diese 3 Gleichungen auch dadurch kommt, dass man anstelle der alten Zielfunktion z(x,y) die neue Zielfunktion $\begin{eqnarray} Z(x,y,\lambda)=z(x,y)-\lambda\cdot [g(x,y)-c] \end{eqnarray}$ mit den 3 Varialen $\begin{eqnarray} x,y,\lambda \end{eqnarray}$ betrachtet und deren dreidimensionalen Gradient Null setzt, also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \tfrac{\partial Z}{\partial x} \\ \tfrac{\partial Z}{\partial y} \\ \tfrac{\partial Z}{\partial \lambda} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ist der Witz der Sache.
11.09.2013, 13:07	starger	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe, es hat mir wirklich sehr geholfen.

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