Folge von ineinandergeschachtelten Funktionen

10.09.2013, 14:16

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Folge von ineinandergeschachtelten Funktionen

Meine Frage:
Hi, ich bin grade auf diese Aufgabe gestoßen und bin mir nicht sicher ob meine Lösung möglich bzw. richtig ist smile

smile

Also:

Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Funktion und $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl, sodass $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|<q \cdot |x-y| \end{eqnarray*}$ f.a. $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt. Zeigen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_0 =f(0), a_{n+1}=f(a_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Meine Ideen:
Ich habe mit dem Cauchy-Kriterium für Folgen angefangen: Sei also $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ . Seien $\begin{eqnarray*} n,m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Jetzt habe ich zuerst $\begin{eqnarray*} m=n+k \end{eqnarray*}$ mit einer natürlichen Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gesetzt.

Dann fange ich an abzuschätzen:

$\begin{eqnarray*} |f(a_n)-f(a_{n+k})|<q \cdot |a_n -a_{n+k}|=q \cdot |f(a_{n-1})-f(a_{a+k-1})|<br /> <q^2 \cdot|a_{n-1}-a_{a+k-1}| < ... < q^{n+1} \cdot |a_0 -a_k| < q^{n+2} \cdot |a_{k-1}| \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, also $\begin{eqnarray*} \exists N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} q^n < \frac{\epsilon}{|a_{k-1}|} \end{eqnarray*}$ f.a. $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ .

Damit (und da $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ beliebig ist) denke ich habe ich gezeigt das es eine Cauchy-Folge ist, und sie daher konvergiert.

Mir kommt das ein wenig komisch vor, wäre nett wenn ihr mal drüber gucken könntet smile

smile

EDIT: Am Ende müsste ich noch eine Fallunterscheidung machen, falls $\begin{eqnarray*} a_{k-1} =0 \end{eqnarray*}$ ist.

10.09.2013, 14:27

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Nein, das reicht so noch nicht.

Zitat:

Da $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, also $\begin{eqnarray*} \exists N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} q^n < \frac{\epsilon}{|a_{k-1}|} \end{eqnarray*}$ f.a. $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ .

Du wählst aber nicht zuerst $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , sondern umgekehrt.

10.09.2013, 15:28

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt... Da hab ich nicht genau auf das Kriterium geachtet. D.h. ich muss mein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ finden, ohne zu wissen was mein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist.

Mir fällt aber weder eine geeignete Abschätzung auf, noch ein Weg wie ich das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ umgehen könnte unglücklich

unglücklich

10.09.2013, 15:47

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst

$\begin{eqnarray*} |a_0-a_k| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} l|a_0-a_1| \end{eqnarray*}$ abschätzen, wobei $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ konstant ist.
Betrachte dafür $\begin{eqnarray*} |a_k-a_0| = \left|\sum\limits_{j=1}^k a_{k-j+1}-a_{k-j}\right| \leq \sum\limits_{j=0}^k |a_{k-j}-a_{k-j-1}| \end{eqnarray*}$ .

Das musst du jetzt noch ein wenig abschätzen.

10.09.2013, 16:26

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Guppi12
$\begin{eqnarray*} |a_k-a_0| = \left|\sum\limits_{j=1}^k a_{k-j+1}-a_{k-j}\right| \leq \sum\limits_{j=0}^k |a_{k-j}-a_{k-j-1}| \end{eqnarray*}$ .

Kann es sein das du dich hier vertippt hast und es $\begin{eqnarray*} |a_k-a_0| = \left|\sum\limits_{j=1}^k a_{k-j+1}-a_{k-j}\right| \leq \sum\limits_{j=1}^k |a_{k-j}-a_{k-j+1}| \end{eqnarray*}$ heißen soll?

10.09.2013, 16:38

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sorry, ich habe mich da total verschrieben. Das kam davon, weil ich beim Schreiben des Beitrags die Summe nochmal anders geschrieben habe und dann hinten Copy&Paste was vergessen hatte.

Eigentlich sollte da

$\begin{eqnarray*} |a_k-a_0| = \left|\sum\limits_{j=1}^k a_{k-j+1}-a_{k-j}\right| \leq \sum\limits_{j=1}^k |a_{k-j+1}-a_{k-j}| \end{eqnarray*}$

stehen.

Anzeige

10.09.2013, 16:44

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe davon aus das dir da ein Tippfehler unterlaufen ist, denn ich habe (sowie es für mich aussieht Big Laugh

Big Laugh

) die Lösung gefunden.

$\begin{eqnarray*} |a_k-a_0| = \left|\sum\limits_{j=1}^k a_{k-j+1}-a_{k-j}\right| \leq \sum\limits_{j=1}^k |a_{k-j}-a_{k-j+1}| <br /> =|a_{k-1}-a_{k}|+|a_{k-2}-a_{k-1}|+|a_{k-3}-a_{k-2}|+...++|a_2-a_1|+|a_1-a_0| \end{eqnarray*}$

Das ist ja erstmal nur die Summe ausgeschrieben, jetzt benutze ich die Rekursion der Folge:

$\begin{eqnarray*} =|f(a_{k-2})-f(a_{k-1})|+|f(a_{k-3})-f(a_{k-2})|+|f(a_{k-4})-f(a_{k-3})|+...+|f(a_1)-f(a_0)|+|a_1-a_0| \end{eqnarray*}$

Dann die Vorraussetzung $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|<q \cdot |x-y| \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} <q \cdot |a_{k-2}-a_{k-1}|+q \cdot |a_{k-3}-a_{k-2}|+q \cdot |a_{k-4}-a_{k-3}|+...+q\cdot |a_1-a_0|+|a_1-a_0|<br /> <q \cdot |a_{k-2}-a_{k-1}|+q \cdot |a_{k-3}-a_{k-2}|+q \cdot |a_{k-4}-a_{k-3}|+...+2 \cdot |a_1-a_0| \end{eqnarray*}$

da durch die Abschätzung das Glied vor $\begin{eqnarray*} |a_1-a_0| \end{eqnarray*}$ immer mit $\begin{eqnarray*} q \cdot |a_1-a_0| \end{eqnarray*}$ abgeschätzt wird.

Damit komme ich dann am Ende zu der Abschätzung $\begin{eqnarray*} |a_0-a_k|<l \cdot |a_0-a_1| \end{eqnarray*}$ . Nur noch eine Frage: Das $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ hängt doch eigentlich von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ab, es ist ja eigentlich die Anzahl der Summanden. Darf ich dann überhaupt $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ abhängig machen?

10.09.2013, 16:47

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

So dass $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ abhängt sollte das eigentlich nicht sein.

Auch sind die Punkte zu früh angesetzt. Ich verstehe deine Abschätzung nicht einmal wegen den Punkten.

Edit: hab hier nochmal editiert. Mein eigentliches Problem ist nämlich gerade, dass ich nicht weiß, wie du die Abschätzung meinst.

10.09.2013, 16:49

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich überlege erstmal smile

smile

EDIT: Ich führe dann zuerst die Abschätzung weiter aus.

10.09.2013, 17:06

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, du meinst also, dass du am Ende nach $\begin{eqnarray*} k|a_0-a_1| \end{eqnarray*}$ abgeschätzt hast.

Das bringt in der Tat nicht so viel. Du hast bei dieser Abschätzung aber auch immer die Faktoren $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ unter den Tisch fallen lassen. Diese sind sehr wichtig.

10.09.2013, 17:07

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe das macht es ein wenig deutlicher. Wenn ich das jetzt immer weiter abschätze habe ich hinterher eine Abschätzung, die aber leider immer noch von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ abhängt.

EDIT: Genau. Den Faktor $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ habe ich immer mit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ nach oben abgeschätzt.

10.09.2013, 17:11

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich könnte auch erstmal alles stehen lassen, dann $\begin{eqnarray*} |a_1-a_0| \end{eqnarray*}$ ausklammern, und hab dann eine Art geometrische Summe da stehen. Ich versuche mal die abzuschätzen.

10.09.2013, 17:13

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, mach das mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.09.2013, 17:24

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann komme ich auf
$\begin{eqnarray*} q \cdot |a_{k-2}-a_{k-1}|+q \cdot |a_{k-3}-a_{k-2}|+q \cdot |a_{k-4}-a_{k-3}|+...+q\cdot |a_1-a_0|+|a_1-a_0|<br /> < |a_1-a_0| \cdot \sum\limits_{i=0}^k q^i \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^k q^i \end{eqnarray*}$ größer wird, wenn $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ größer wird, schätze ich das mit dem Grenzwert ab. Dann wäre daher mein $\begin{eqnarray*} l = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ und nicht von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ abhängig.

10.09.2013, 17:25

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Jop

Freude

Für den Beweis würde ich diese Aussagen aber alle sauber, also ohne Punkte, aufschreiben und ggf. mit vollständiger Induktion beweisen.

10.09.2013, 17:29

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah super! Ich danke dir Guppi12! smile

smile

Wink

Ja das mache ich jetzt nochmal vernünftig auf dem Papier smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »