komplexe quadratische Gleichung LSG

11.09.2013, 11:32

Brunilo

komplexe quadratische Gleichung LSG

Zu lösen ist folgende komplexe Gleichung 2. Grades:

$\begin{eqnarray*} 4z^2 - (12+4i)z + 12i = 0 \end{eqnarray*}$

Ich dachte daran, eine Lösungsformel zu nutzen, nämlich die a-b-c-Formel, komme aber nicht sehr weit, da ich nicht weiß, was zu tun ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{12+4i \pm \sqrt{(-12-4i)^2 - 4*4*(12i)}} {8} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{12+4i \pm \sqrt{144 - 96i - 16 - 192i}}{8} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{12+4i \pm \sqrt{128 - 96i}}{8} \end{eqnarray*}$

11.09.2013, 11:50

Steffen Bühler

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RE: komplexe quadratische Gleichung LSG
Bis jetzt ist alles richtig. Nun muss also $\begin{eqnarray*} \sqrt{128 - 96i} \end{eqnarray*}$ berechnet werden. Dazu wird der Betrag radiziert und der Winkel halbiert.

Viele Grüße
Steffen

11.09.2013, 11:54

Math1986

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RE: komplexe quadratische Gleichung LSG
Kurzer Einwand:
Der letzte Ausdruck muss wie folgt lauten:
$\begin{eqnarray*} \frac{12+4i \pm \sqrt{128 -288i}}{8} \end{eqnarray*}$

11.09.2013, 12:02

Steffen Bühler

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RE: komplexe quadratische Gleichung LSG

Zitat:

Original von Math1986
Kurzer Einwand:
...

Nein, der letzte Ausdruck stimmt wieder, im vorletzten muss es allerdings +96i statt -96i lauten.

11.09.2013, 12:05

Math1986

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RE: komplexe quadratische Gleichung LSG

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Nein, der letzte Ausdruck stimmt wieder, im vorletzten muss es allerdings +96i statt -96i lauten.

Oh, stimmt smile

11.09.2013, 12:45

Steffen Bühler

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RE: komplexe quadratische Gleichung LSG

Zitat:

Original von Math1986
Oh, stimmt smile

Ja, ich hielt es für einen Schreibfehler und bin daher nicht drauf eingegangen. Könnten natürlich auch zwei Fehler hintereinander gewesen sein, die sich ausgeglichen haben...

Auf jeden Fall noch danke für die Aufmerksamkeit.

Viele Grüße
Steffen

11.09.2013, 15:33

Brunilo

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RE: komplexe quadratische Gleichung LSG
Hallo,

ja, leider ein Schreibfehler, Verzeihung!

Okay, weiter gehts:

1.) Der Betrag von $\begin{eqnarray*} 128-96 i \end{eqnarray*}$ müsste lauten: $\begin{eqnarray*} r = \sqrt{128^2+96^2} = 160 \end{eqnarray*}$
2.) Der Winkel von $\begin{eqnarray*} 128-96 i \end{eqnarray*}$ müsste einfach und ohne Hilfe eines Taschenrechners zu berechnen sein. Leider stehe ich da wieder in einer Sackgasse, da ich z.B.: sin(a) = 0,6 erhalte..

Was empfiehlt sich da?

11.09.2013, 15:50

Steffen Bühler

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RE: komplexe quadratische Gleichung LSG
Der Betrag stimmt, aber dass der Winkel ohne Taschenrechner zu berechnen sein soll, wundert mich. Sicher, es handelt sich hier um das berühmte 3:4:5-Dreieck, aber ob man diesen Winkel (knapp 37°) auswendig kennt, hm...

Gut, wenn ihr tatsächlich keinen Rechner benutzen dürft, muss es anders gehen: wir suchen a und b, so dass

(a+ib)²=a²+2abi-b²=(a²-b²)+2abi=128-96i

Das ergibt zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Viele Grüße
Steffen

11.09.2013, 18:10

Brunilo

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RE: komplexe quadratische Gleichung LSG

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Der Betrag stimmt, aber dass der Winkel ohne Taschenrechner zu berechnen sein soll, wundert mich. Sicher, es handelt sich hier um das berühmte 3:4:5-Dreieck, aber ob man diesen Winkel (knapp 37°) auswendig kennt, hm...

Gut, wenn ihr tatsächlich keinen Rechner benutzen dürft, muss es anders gehen: wir suchen a und b, so dass

(a+ib)²=a²+2abi-b²=(a²-b²)+2abi=128-96i

Das ergibt zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Viele Grüße
Steffen

Und nochmals vielen Dank.

Leider stoße ich schon wieder auf einige Probleme..

Ich nehme als Ausgangslage deine obige Gleichung:
$\begin{eqnarray*} (a^2-b^2)+2abi = 128 - 96i \end{eqnarray*}$
d.h.:
I. $\begin{eqnarray*} a^2-b^2 = 128 \end{eqnarray*}$
II. $\begin{eqnarray*} 2ab = -96 \end{eqnarray*}$

müssen beide erfüllt sein.

Löse ich nun etwa II nach a auf und setze in I. ein, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} b^4 +128b^2 - 2304 = 0 \end{eqnarray*}$
durch Substitution, etwa mit x = b^2 erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{-128+160}{2} = 16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = \frac{-128-160}{2} = -144 \end{eqnarray*}$

und durch die Resubstitution:

$\begin{eqnarray*} b_1 bzw. b_2 = \pm \sqrt{x_1} \to b_1 = 4, b_2 = -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_3 bzw. b_4 = \pm \sqrt{x_2} \to b_3 = 12i, b_4 = -12i \end{eqnarray*}$

D.h. ich habe insgesamt vier verschiedene Lösungsmöglichkeiten... verwirrt

11.09.2013, 19:50

Leopold

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Wieso dividiert niemand durch $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} 4z^2 - (12 + 4 \operatorname{i})z + 12 \operatorname{i} = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ z^2 - (3 + \operatorname{i})z + 3 \operatorname{i} = 0 \end{eqnarray*}$

Und wenn man jetzt an $\begin{eqnarray*} (z-a)(z-b) = z^2 - (a+b)z + ab \end{eqnarray*}$ denkt, sollte eigentlich alles klar sein. Ohne jeden Taschenrechner.

11.09.2013, 21:08

Brunilo

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Zitat:

Original von Leopold
Wieso dividiert niemand durch $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} 4z^2 - (12 + 4 \operatorname{i})z + 12 \operatorname{i} = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ z^2 - (3 + \operatorname{i})z + 3 \operatorname{i} = 0 \end{eqnarray*}$

Und wenn man jetzt an $\begin{eqnarray*} (z-a)(z-b) = z^2 - (a+b)z + ab \end{eqnarray*}$ denkt, sollte eigentlich alles klar sein. Ohne jeden Taschenrechner.

Hi, hmm

vielen vielen Dank - wie kommt man auf die letzte Zeile?

12.09.2013, 08:50

Steffen Bühler

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RE: komplexe quadratische Gleichung LSG

Zitat:

Original von Brunilo
$\begin{eqnarray*} b_1 bzw. b_2 = \pm \sqrt{x_1} \to b_1 = 4, b_2 = -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_3 bzw. b_4 = \pm \sqrt{x_2} \to b_3 = 12i, b_4 = -12i \end{eqnarray*}$

D.h. ich habe insgesamt vier verschiedene Lösungsmöglichkeiten... verwirrt

In der Tat, aber da überdeckt sich einiges. Du hast ja $\begin{eqnarray*} a=\frac{-48}b \end{eqnarray*}$ gesetzt, nun schaun wir mal:

b1=4 -> a1=-12
b2=-4 -> a2=12
b3=12i -> a3=4i (denn 1/i=-i)
b4=-12i -> a4=-4i (s.o.)

Wir suchen ja die Zahlen z=a+bi, das sind dann

z1 = -12+4i
z2 = 12-4i
z3 = 4i-12
z4 = -4i+12

Es gibt somit tatsächlich nur zwei Lösungen, nämlich 12-4i und -12+4i.

Viele Grüße
Steffen

12.09.2013, 14:14

Leopold

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Zitat:

Original von Brunilo
wie kommt man auf die letzte Zeile?

Ganz verstehe ich die Frage nicht. Da wurde ja nur ausmultipliziert und nach Potenzen von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ geordnet (Polynomgestalt). Mit der Umformung wird zum Ausdruck gebracht, was man gemeinhin den Satz von Vieta nennt. Wie auch immer: An dieser Umformung lassen sich die Lösungen deiner Gleichung unmittelbar ablesen, ohne jedes komplexe Wurzelziehen. Deine umständliche Lösung schadet zu Übungszwecken trotzdem nicht, denn nicht immer liegt ja solch eine komfortable Situation vor.

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