Frage zur Periodizität einer Sinus Funktion

11.09.2013, 13:15

Mate51

Frage zur Periodizität einer Sinus Funktion

Meine Frage:
Hallo Leute,

habe eine Frage zu einem Ergebnis, das gegeben ist. Es geht um die Sinusfunktion
$\begin{eqnarray*} \sin(\frac{x}{3} )=\frac{\sqrt{3} }{2} \end{eqnarray*}$

Die Ergbenisse müssten ja jetzt
$\begin{eqnarray*} x_{k}=\pi +2k\pi \end{eqnarray*}$
sein.
Kann nur dir Lösung die mir hier vorliegt nicht verstehen?

x1=pi±6 kpi
x2=2 pi±6 kpi

k=0,±1,±2,...

Meine Ideen:
Siehe oben

11.09.2013, 14:43

Steffen Bühler

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RE: Frage zur Periodizität einer Sinus Funktion
Schau mal hier:

Der erste Schnittpunkt ist in der Tat bei x=pi. Nach Deiner Formel müsste aber der nächste bei 3pi und der übernächste bei 5pi sein. Das ist nicht der Fall, wie Du siehst!

Der erste Schnittpunkt "wiederholt sich" nach 6pi, dann nach 12pi und so weiter.

Jetzt zum zweiten Schnittpunkt, der bei 2pi liegt. Siehst Du den? Auch der "wiederholt sich" nach jeweils 6pi Abstand.

Viele Grüße
Steffen

11.09.2013, 14:50

Mate51

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Hallo,

ok, verstehe diesen Graphischen Ansatz.

Aber wenn doch die sin Funktion 2Pi Periodisch ist, dann muss doch immer nach 2Pi auch wieder der gleiche Wert erreicht werden?
Wie kann man rechnerisch auf die Lösung kommen?

11.09.2013, 14:57

Mate51

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Hallo, liege ich bei der Umformung richtig?

$\begin{eqnarray*} \sin(\frac{x}{3} ) =2\pi \end{eqnarray*}$ |*3
$\begin{eqnarray*} \sin(x) =6\pi \end{eqnarray*}$

Kommt man so auf die Periodensauer von 6Pi ?

11.09.2013, 14:58

Steffen Bühler

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Die Funktion sin(x) ist in der Tat pi-periodisch. Aber ein Faktor vor dem x verändert die Periode! Die Funktion sin(2x) hat die Periode pi/2, die Funktion sin(x/2) hat die Periode 4pi - und Deine Funktion sin(x/3) hat eben die Periode 6pi. Sieht man ja auch schön im Diagramm, das nach 6pi wieder alles von vorn losgeht.

Auf die erste Lösung wirst Du ja selber gekommen sein:

$\begin{eqnarray*} \sin \frac x 3 = \frac {\sqrt 3}2 \to \frac x 3 = \arcsin \frac {\sqrt 3}2 \to ... \end{eqnarray*}$

Danach betrachtest Du z. B. die Symmetrie des Sinus wie $\begin{eqnarray*} \sin (\frac {\pi}2 - x) = \sin (\frac {\pi}2 + x) \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

11.09.2013, 15:00

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Mate51
$\begin{eqnarray*} \sin(\frac{x}{3} ) =2\pi \end{eqnarray*}$ |*3
$\begin{eqnarray*} \sin(x) =6\pi \end{eqnarray*}$

Nein, bitte nicht.

Viele Grüße
Steffen

11.09.2013, 15:07

Mate51

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Die Umformung würde aber alle genannten Perioden korrekt bestimmt :-)

Wie kann mann denn Rechnerisch die Periode von $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{x}{3} ) \end{eqnarray*}$ bestimmen?

Man hat ja auch nicht immer einen Funktionsplotter zur Verfügung

11.09.2013, 15:13

Steffen Bühler

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Die Periode wird ja allgemein mit T bezeichnet. Dann schreibt man

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin \frac {2 \pi}T x \end{eqnarray*}$

Für einen "normalen" Sinus ist die Periode also 2pi, denn

$\begin{eqnarray*} \sin x = \sin \frac {2 \pi}{2 \pi} x \end{eqnarray*}$

Nun hast Du die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \sin \frac x 3 \end{eqnarray*}$ . Finde mal heraus, wie groß T in diesem Fall also ist.

11.09.2013, 15:32

Mate51

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Mhhhh, komm nicht so recht drauf ? verwirrt

11.09.2013, 15:35

Steffen Bühler

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$\begin{eqnarray*} \sin \frac {2 \pi}T x = \sin \frac x 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \frac {2 \pi}T x = \frac x 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \frac {2 \pi}T = \frac 1 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to ... \end{eqnarray*}$

11.09.2013, 15:42

Mate51

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Hallo,

ich danke dir, so macht das auch Sinn smile

Verstehe jetzt wie man darauf kommt.
Wird aber bestimmt nicht die letzte Frage gewesen sein zu dem Themenbereich Forum Kloppe

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