Taylor, Exponentialreihe und Integral

11.09.2013, 15:40

Kathi_R

Taylor, Exponentialreihe und Integral

Hey, ich habe folgende Aufgabe und wüsste gern, ob meine Lösung richtig ist...

Es sei F definiert durch
$\begin{eqnarray*} F(x):=\int^x_0e^{-t^2}dt \end{eqnarray*}$

Geben Sie das Polynom vierten Grades von F mit Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ an

1) Als erstes schreibe ich e als Exponentialfunktion:

$\begin{eqnarray*} F(x):=\int^x_0 \sum_{k \geq 0} \frac {(-t^2)^k}{k!}dt \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} F(x):=\sum_{k \geq 0} \int^x_0 \frac {(-t^2)^k}{k!}dt \end{eqnarray*}$

2) Da ich bestimmte Grenzen habe und der Term=0 wird für t=0, erhalte ich für die Funktion F(x), wenn ich die Grenzen einsetze:

$\begin{eqnarray*} F(x):=\sum_{k \geq 0} \frac {(-x^2)^k}{k!}dt \end{eqnarray*}$

3) Die Form eines Paylorpolynoms um den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} T(x) = F(x) + F'(x) \cdot x + \frac{F''(x)}{2}x^2 + \frac{F'''(x)}{6}x^3 + \frac{F^4(x)}{24}x^4 \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt nur noch $\begin{eqnarray*} F(x):=\sum_{k \geq 0} \int^x_0 \frac {(-t^2)^k}{k!}dt \end{eqnarray*}$ entsprechend ableiten und einsetzen?

Liebe Grüße!

11.09.2013, 16:54

Guppi12

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Ähm, ist dir nicht aufgefallen, dass du hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F(x):=\sum_{k \geq 0} \frac {(-x^2)^k}{k!}dt \end{eqnarray*}$

vergessen hast, vorher nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ zu integrieren?

Ich will dich aber eigentlich garnicht in diese Richtung lotsen, die ist ziemlich umständlich.

Du brauchst doch für die Taylorentwicklung nicht wissen, wie $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ konkret aussieht. Du brauchst nur
$\begin{eqnarray*} F(0), F'(0), F''(0) \end{eqnarray*}$ usw.

$\begin{eqnarray*} F(0) \end{eqnarray*}$ kannst du direkt aus der Integraldarstellung ablesen.

$\begin{eqnarray*} F'(x) \end{eqnarray*}$ kannst du einfacher, als über die Reihendarstellung bestimmen.

Was ist denn $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^xe^{-t^2}\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ ?

Denke an den Hauptsatz.

11.09.2013, 17:18

Kathi_R

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Ah ja, ok, klar.

Also dieser letztgenannte Term (Ich weiß zwar, dass oben ein "Zitieren-Button" ist, aber ich kann doch deine Formel nicht markieren...wie verwende ich das in meinem Beitrag?) ist gleich $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} (F(x)-F(0)) \end{eqnarray*}$ .

Aber das ändert ja nichts daran, dass doch erstmal die Funktion nur von t abhängig ist und nach t integriert werden sollte. Kann ich dann, wenn ich das Integral ableite, auch das "dt" zu "dx" umstellen?

Aber hm...dann leite ich also die Funktion f(t) nach t ab und setze danach x ein, weil das meine Grenze ist?

11.09.2013, 17:28

Guppi12

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Ich werde aus deinem Text nicht so wirklich schlau.

Ich meinte aber auch den anderen Teil des Hauptsatzes:

Zitat:

Jede stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f:[a, b]\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist integrierbar und hat eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ definiert durch durch $\begin{eqnarray*} F(x) := \int_a^x f(t) \mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in[a,b] \end{eqnarray*}$

Weiter, wenn $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist, was ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F \end{eqnarray*}$ ?

Was ist hier überhaupt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ?

11.09.2013, 18:01

Kathi_R

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$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}F \end{eqnarray*}$ ist wieder f.
Und f ist $\begin{eqnarray*} e^{-t^2} \end{eqnarray*}$

Aber nochmal zum F(0). Das mit dem t und dem x irritiert mich. Die Funktion ist von t abhängig, das heißt, nach dieser Variable leite ich ab, bzw integriere ich.

Und x setze ich dann nur noch in die Formeln ein.

Jedenfalls habe ich mir das so erklärt, aber irgendwas sagt mir, dass das nicht stimmen kann.

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int^0_0 e^{-t^2}dt = 0 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} F'(0)=f(0)= ?? \end{eqnarray*}$ Da stimmt doch was nicht, sonst würde ja immer 0 rauskommen, weil die Integralgrenzen immer von 0 bis 0 sein würden

11.09.2013, 22:54

Guppi12

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int^0_0 e^{-t^2}dt = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Das ist richtig!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F'(0)=f(0)= ?? \end{eqnarray*}$

Naja, f(x) ist jetzt $\begin{eqnarray*} e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ . Lass dich von den verschiedenen Variablen nicht verwirren. Es geht viel mehr um die Abbildungsvorschrift. Und die besagt, dass eine Variable abgebildet wird auf $\begin{eqnarray*} e^{-Variable^2} \end{eqnarray*}$ . Wie die Variable heißt, ist völlig egal.

Was ist also $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Entschuldige, dass ich so lange weg war. Ich war verhindert.

12.09.2013, 15:59

Kathi_R

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Macht nichts, ich kann ja nicht erwarten, dass du den ganzen Tag vor dem PC sitzt und Matheprobleme löst :-)

Dann wäre $\begin{eqnarray*} f(0)=e^0=1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann weiter ableite, krieg ich raus:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{-x^2} \cdot -2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=e^{-x^2} \cdot 4x^2 - 2e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=e^{-x^2} \cdot (4x^2 - 2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(0)=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=e^{-x^2} \cdot (-8x^3 + 4x) + 8x \cdot e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=e^{-x^2} \cdot (-8x^3 + 12x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(0)=0 \end{eqnarray*}$

Demnach lautet das Taylorpolynom 4. Grades:

$\begin{eqnarray*} T^{-4}(x)= x -2x^3 \end{eqnarray*}$
Da ich ja keine Reihe darstelle, brauche ich auch kein Restglied.

Ist das richtig?

12.09.2013, 16:27

Guppi12

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Wenn nicht nach dem Restglied gefragt ist, sondern wirklich nur nach dem Taylorpolynom 4. Grades, dann reicht das so.

Stimmt aber noch nicht ganz. Du hast jetzt nur $\begin{eqnarray*} F(0)+f(0)x+f'(0)x^2+f''(0)x^3+f'''(0)x^4 \end{eqnarray*}$ aufgeschrieben. Da fehlen aber noch Faktoren aus der Taylorformel.

12.09.2013, 18:56

Kathi_R

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Ach klar, sorry, stimmt.

Also
$\begin{eqnarray*} T^4(x)=x-\frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray*}$

Trotzdem noch mal kurz eine Frage zum Zitieren:
Ich sehe überall diese Kästen "Zitat:", wo du dann meinen Beitrag zitierst.
Wie kann ich zum Beispiel deinen Beitrag zitieren?
Oben ist ein Button, wenn ich darauf klicke, erscheint "QUOTE".
Aber wie füge ich dann den Teil ein, den ich zitieren möchte?
Sorry, wenn ich mich gerade sehr blöd anstelle...

Und vielen Dank nochmal für deine Hilfe!

12.09.2013, 19:05

Guppi12

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Du hast ja, während du eine Antwort erstellst, unten eine Übersicht über die Beiträge, die vorher gepostet wurden. Du musst dir dort die entsprechende Stelle rauskopieren und zwischen

(QUOTE) und (/QUOTE) einfügen. Hier müssen natürlich die runden Klammer durch eckige ersetzt werden.

(QUOTE)
Dies ist ein Zitat
(/QUOTE)

liefert dann

Zitat:

Dies ist ein Zitat

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