Uneigentliches Integral

11.09.2013, 18:04

Snipes04

Uneigentliches Integral

Hallo,
Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe: Welches der folgenden uneigentlichen Integrale existieren? Wenn es existiert geben sie ein Wert an.

Tipp: ein Ansatz basiert auf einer geeigneten (!) Substitution.

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! \frac{4}{2x^{2}+1} \, dx \end{eqnarray*}$

Eine Idee bezieht sich auf einen Spezialfall der Substitution, bei der im Zähler die Ableitung des Nenners steht. Das Integral darüber ist ja dann ln(f(x)) mit den entsprechenden Grenzen....
Nur kann ich bei diesem Ansatz nicht einfach ein x im Zähler ergänzen, sondern lediglich konstanten, die dann entsprechend vor das Integral gezogen werden dürfen.

Bei einer anderen idee habe ich an den arctan gedacht, da dessen Ableitung 1/(x^2 +1) ist...
Besteht die Möglichkeit, den Zähler entsprechend so zu substituieren, dass ich den o.g. Spezialfall verwenden kann, oder gar direkt zur Lösung komme?

Andere Idee?

11.09.2013, 21:21

Bürgi

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RE: Uneigentliches Integral

Zitat:

Besteht die Möglichkeit, den Zähler entsprechend so zu substituieren, dass ich den o.g. Spezialfall verwenden kann

Deine Idee ist genau richtig:

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! \frac{4}{2x^{2}+1} \, dx = 4\int_1^\infty \! \frac{1}{2x^{2}+1} \, dx \end{eqnarray*}$

Substitutiere

$\begin{eqnarray*} u = x \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch den konstanten Faktor 4 so aufspalten, dass ein Teilfaktor als du (<-- das heißt nicht du sondern deee uuh) dienen kann und Du bist praktisch fertig.

11.09.2013, 22:28

Snipes04

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RE: Uneigentliches Integral

Zitat:

Original von Bürgi

Zitat:

Besteht die Möglichkeit, den Zähler entsprechend so zu substituieren, dass ich den o.g. Spezialfall verwenden kann

welchen Ausdruck soll ich denn dann mit $\begin{eqnarray*} u = x \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ersetzten?
Ich habe dieses Vorgehen der Substitution bis jetzt so aufgefasst, dass man einen bestehenden Ausdruck (sei es z.B. $\begin{eqnarray*} 2x^{2} \end{eqnarray*}$ einem y zuweist. folglich: $\begin{eqnarray*} 2x^{2}=u \end{eqnarray*}$ . ...

12.09.2013, 09:31

Bürgi

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RE: Uneigentliches Integral
Moin,

aus $\begin{eqnarray*} u = x \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = \sqrt{2}~\implies~du = \sqrt{2} \cdot dx \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \sqrt{2}\int_1^\infty \! \frac{\sqrt{2} \cdot dx}{(\sqrt{2}x)^{2}+1} \end{eqnarray*}$
und nach der Substitution
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \sqrt{2}\int_{\sqrt{2}}^\infty \! \frac{1}{(u)^{2}+1} du \end{eqnarray*}$

Und ab jetzt greift Dein Vorschlag eine arcus-Funktion zu verwenden.

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