Prinzip! Exponentielle Wachstumsprozesse

11.09.2013, 19:31

Uchiha

Exponentielle Wachstumsprozesse

Meine Frage:
Die Ausgangsgleichung ist: h(t)= S-ce^-0,5t
Für S habe ich 1,39 und für c 9,68 (weiß aber nicht ob die Werte stimmen)

Aufgabe: Welche Höhe wird langfristig erwartet?

Hier steht man soll lim t-> unendlich h(t) anwenden.

Ich hab keine Ahnung was ich rechnen soll. Ich bitte um eine ausführliche Rechnung, sonst verstehe ich es nicht!

Meine Ideen:
Wir hatten noch nie lim t-> unendlich h(t)!!!!!!

Wir hatten mal lim h->0 aber bei ner einfachen Gleichung wie 2^x. Aber ich weiß nicht ob es das gleiche ist.

11.09.2013, 19:51

Kasen75

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Hallo,
man kann hier stückweise vorgehen, indem man erst einmal $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} e^{-0,5t} \end{eqnarray*}$ berechnet. Aufgrund des negativen Vorzeichen im Exponenten kann man $\begin{eqnarray*} e^{0,5t} \end{eqnarray*}$ in den Nenner schreiben.

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \frac{1}{ e^{0,5t}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man Problem noch weiter zerlegen, in dem man zuerst $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} e^{0,5t} \end{eqnarray*}$ berechnet.

Was ist das Ergebnis also, wenn man hier einen ganz ganz großen Wert einsetzt ?

Eine ausführliche Rechnung kann ich dir, aufgrund der Boardregeln, leider nicht präsentieren. Würde ich auch sonst nicht machen.

Grüße.

11.09.2013, 19:56

Uchiha

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Wieso werden s und c jetzt weggelassen, sind die Werte egal??????

11.09.2013, 20:01

Uchiha

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bei t=100 kommt 1,93 raus, bei 1000 sagt der Taschenrechner Error

11.09.2013, 20:34

Kasen75

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Zitat:

Original von Uchiha
Wieso werden s und c jetzt weggelassen, sind die Werte egal??????

Nein, sie sind nicht egal. Wir werden sie später berücksichtigen.

Das "Error" entsteht dadurch, dass das Ergebnis so hoch ist, dass der TS ihn nicht mehr berechnen kann.
Man kann schon mal festhalten: Je höher t, desto höher ist $\begin{eqnarray*} e^{0.5t} \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} e^{0,5t}=\infty \end{eqnarray*}$

Wenn das so ist, was ist dann: $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \frac{1}{ e^{0,5t}} \end{eqnarray*}$ ?

11.09.2013, 23:03

Uchiha

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keine Ahnung. Wie gesagt bei 100 wars 1,93

12.09.2013, 03:32

Kasen75

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Bei t=100 kommt nicht 1,93 heraus.

$\begin{eqnarray*} e^{0,5*100}=e^{50}\approx 5,184\cdot 10^{21} \end{eqnarray*}$

Das ist eine 22-stellige Zahl. Das ist schon eine ziemlich große Zahl. Mein Taschenrechner streikt schon bei dieser Berechnung.

Und bei t=1000 ergibt sich: $\begin{eqnarray*} e^{0,5*1000}=e^{500}\approx 1,403 \cdot 10^{217} \end{eqnarray*}$ Das Ergebnis ist noch viel, viel größer.

Der Funktionswert der e-Funktion, mit positiven Exponenten, wird mit steigendem t sehr schnell größer.
Und für $\begin{eqnarray*} t \to \infty \end{eqnarray*}$ geht der Funktionswert somit gegen Unendlich: $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} e^{0,5t}=\infty \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man ja $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} e^{-0,5t}=\lim_{t \to \infty} \frac{1}{ e^{0,5t}}=\large{\text{$\frac{1}{\lim_{t \to \infty} e^{0,5t}}$}} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Du weißt jetzt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} e^{0,5t}=\infty \end{eqnarray*}$ . Somit kann man schreiben:
$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} e^{-0,5t}=\lim_{t \to \infty} \frac{1}{ e^{0,5t}}=\large{\text{$\frac{1}{\lim_{t \to \infty} e^{0,5t}}=\frac{1}{\infty}$}} \end{eqnarray*}$

Was ergibt sich denn, wenn man die 1 durch eine ganz ganz große Zahl teilt ?

Wenn man die Frage beantwortet hat, dann kann man mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt auch den Parameter c berücksichtigen und somit auch die gestellte Frage beantworten.

12.09.2013, 06:33

Uchiha

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Hä, sorry ich blick nicht durch. Und wann kommen außerdem wieder die Zahlen hinzu die wir einfach so weggemacht haben? Naja egal. Ich hab halt jetzt meine Hausaufgaben nicht. Ich hoffe in der Schule wird es nochmal besser erklärt. Und ich hab die Formel genauso in meinen Taschenrechner eingegeben und da kam 1,93. Keine Ahnung warum das jetzt falsch ist.

12.09.2013, 06:50

Uchiha

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Sorry aber ich brauche Anleitung Schritt für Schritt also ganz ausführlich die Rechenwege, sonst verstehe ich es nicht. Keine Ahnung woher Sie auf einmal die ganzen Zahlen nehmen. Und wieso schreiben Sie nicht einfach den ganzen Rechenweg hin, sodass ich nur noch die Lösung ausrechnen muss. Es haut ja sonst zeitlich nicht hin mit den Hausaufgaben. Und ich bin davon ausgegangen dass ich hier per Internet schnell die Lösung oder zumindest den Lösungsweg (also den KOMPLETTEN Lösungsweg nicht nur den halben). Ich würde mir ja Nachhilfe nehmen aber da hab ich weder Zeit noch Geld zu =/

12.09.2013, 07:09

Helferlein

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Wie Du richtig schreibst: Es ist deine Hausaufgabe und deshalb musst Du sie auch selber lösen.
Kasen hat versucht Dich auf den Rechenweg zu bringen, was Du leider nicht annimmst.
Denk mal drüber nach, welchen Sinn Hausaufgaben haben.

12.09.2013, 07:25

Uchiha

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Das Problem ist ja das ich die Hausaufgabe nicht verstehe. Sonst würde ich ja hier nichts schreiben wenn ich von selbst drauf kommen würde

12.09.2013, 11:52

Kasen75

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Zitat:

Original von Uchiha
Ich hab halt jetzt meine Hausaufgaben nicht. Ich hoffe in der Schule wird es nochmal besser erklärt.

Das hoffe ich auch. Es ist auch Aufgabe der Schule die Themen verständlich zu erklären. Deine Aufgabe ist es gut aufzupassen und gegebenenfalls nachzufragen.

Wenn du dann noch eine Unklarheit ist, kannst du gerne hier nachfragen.

Nochmal zurück zum Thema:

Um zu ermitteln was bei $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \frac{1}{ e^{0,5t}}= \large{\text{$\frac{1}{\lim_{t \to \infty} e^{0,5t}}$}} \end{eqnarray*}$ herauskommt kannst du für $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} e^{0,5t} \end{eqnarray*}$ einen möglichst großen Wert ensetzen, dann siehst du wohin die Reise geht.

12.09.2013, 14:31

Uchiha

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Mir wurde heute in der Schule gesagt dass das Ergebnis einfach S ist (also die Zahl die man für S hat, in diesem Fall wars glaube ich 1,37) und man nichts berechnen muss!!!! Man soll nur dieses lim ->t unendlich vornedranschreiben, aber damit nicht rechnen. Nur leider wird einem nicht vorher gesagt wie das funktioniert, sondern bei den Hausaufgaben kommen oft neue Themen =/

12.09.2013, 16:02

Kasen75

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Probiere das doch einfach mal:

Zitat:

Original von Kasen75
Um zu ermitteln was bei $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \frac{1}{ e^{0,5t}}= \large{\text{$\frac{1}{\lim_{t \to \infty} e^{0,5t}}$}} \end{eqnarray*}$ herauskommt kannst du für $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} e^{0,5t} \end{eqnarray*}$ einen möglichst großen Wert ensetzen, dann siehst du wohin die Reise geht.

Dann sind wir auch sehr schnell hier fertig und kommen zu dem Ergebnis, das auch in der Schule präsentiert wurde.

12.09.2013, 18:44

Uchiha

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Also bei 1/e^0,5*100 (also für das t die 100 eingesetzt) kommt raus: 1,93x10^-22 seltsame Zahl aber ok, das kommt raus ^^

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