inhomogene DG 2. Grades - meine Ansätze schlagen fehl

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Timmäh Auf diesen Beitrag antworten »
inhomogene DG 2. Grades - meine Ansätze schlagen fehl
Meine Frage:
Meine Ausgangsgleichung ist:



Ich soll herausfinden, welche der folgenden Anfangswertprobleme nur eine Lösung hat.
(i) y(0)=1
(ii) y(0)=-1
(iii) y(0)=0

Meine Ideen:
Ich gehe davon aus, dass ich erstmal eine Lösung für die DG finden muss. Zuerst habe ich versucht, die Wurzel durch Quadrieren beider Seiten verschwinden zu lassen, was aber zu einer inhomogenen DG 2. Grades (nicht Ordnung) geführt hat, nämlich



und an dieser Stelle weiß ich nicht weiter.
Dann habe ich in der Ausgangsgleichung eine Substitution mit u=(x^2)/2 versucht, die mich aber auch nicht weiterbringt.

Kann mir jemand bitte sagen, wie ich weiterkomme? Gibt es evtl. einen passenden Störgliedansatz?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: inhomogene DG 2. Grades - meine Ansätze schlagen fehl
Zitat:
Original von Timmäh
Ich gehe davon aus, dass ich erstmal eine Lösung für die DG finden muss.

Nein! Das Tolle an der Theorie der Differentialgleichungen ist ja gerade, dass man Aussagen über Existenz, Eindeutigkeit, Stabilität etc. von Lösungen treffen kann, ohne sie explizit zu bestimmen.
Timmäh Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Che Netzer. Ich bin mir nicht sicher ob ich jetzt aus deiner Antwort die richtige Schlussfolgerung gezogen habe, aber ich probier's mal.

Also. Nach Peano ist die Lösbarkeit des AWP nach (ii) y(0) = -1 nicht gegeben, da y'= (-1)^1/2. Damit scheidet das schonmal aus, es gibt keine Lösungskurve in diesem Punkt. (Richtig?)

(i) und (iii) sind demnach stetig. Die partielle Ableitung nach y, die ich für Eindeutigkeit nach Lindelöf/Picard bräuchte wäre dann:



oder?

Wenn ich dann x0 und y0 einsetze, sind die partiellen Ableitungen in beiden Fällen stetig und somit geht durch beide Punkte eine eindeutige Lösungskurve.

Und weiter?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Timmäh
Also. Nach Peano ist die Lösbarkeit des AWP nach (ii) y(0) = -1 nicht gegeben, da y'= (-1)^1/2. Damit scheidet das schonmal aus, es gibt keine Lösungskurve in diesem Punkt. (Richtig?)

Ja, eine Funktion mit kann die DGL nicht erfüllen.

Zitat:
Wenn ich dann x0 und y0 einsetze, sind die partiellen Ableitungen in beiden Fällen stetig und somit geht durch beide Punkte eine eindeutige Lösungskurve.

Wenn du in besagte Ableitung einsetzt (in der übrigens ein Vorzeichenfehler steckt, der aber egal ist), solltest du ein Problem kriegen.
Timmäh Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer

Zitat:
Wenn ich dann x0 und y0 einsetze, sind die partiellen Ableitungen in beiden Fällen stetig und somit geht durch beide Punkte eine eindeutige Lösungskurve.

Wenn du in besagte Ableitung einsetzt (in der übrigens ein Vorzeichenfehler steckt, der aber egal ist), solltest du ein Problem kriegen.


Uuuups. Natürlich.
Nicht ganz zu Ende gedacht... nur geprüft ob ich die Wurzel überhaupt ziehen kann ^^

Vielen Dank für die schnelle Hilfe smile
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