Wahrscheinlichkeit ohne Baumdiagramm

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HenLe Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit ohne Baumdiagramm
Meine Frage:
Hallo ihr Lieben!
Ich habe eine Frage zur Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Und zwar geht es um die Berechnung ohne ein Baumdiagramm. Folgendes haben wir herausgefunden:
Bei einem 4-fachen Zug von weißen und roten Kugeln beträgt die Wahrscheinlichkeit eine Weiße zu zeihen 0,4 und eine Rote zu ziehen 0,6. Zieht man 4 Mal spalten sich die Möglichkeiten ja auf in: 4 Weiße, 3 Weiße+1 Rote, 2 Weiße+2 Rote, 1 Weiße+3 Rote und 4 Rote.
Wir haben den Zusammenhang erkannt dass man diese Zahlen als Potenz ausdrücken kann um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
Also z.B. beim ersten: p(4w)= 0,4^4 * 0,6^0
und beim zweiten: P(3w, 1r)= 0,4^3* 1^1
So weit so gut, aber beim zweiten fehlt noch etwas, und zwar sozusagen die Multiplikation mit der Anzahl der Pfade. Beim ersten ist es ja nur ein Pfad und daher nur mal 1. Aber wie kann ich jetzt ohne Baum die Anzahl der Pfade bei den anderen (außer beim Letzten, da ist es ja wieder klar) herausfinden?? 16 müssen es insgesamt sein, bleiben noch 14 über die auf 3 Möglichkeiten verteilt werden müssen. Hat jemand eine Idee wie man darauf kommt? Gibt es eine Erklärung/Regelmäßigkeit?
Schonmal Danke für jede Hilfe!

Meine Ideen:
Alles oben. smile
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

bei 4-maligen Ziehen mit zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit 3 weiße Kugeln und eine rote Kugel zu ziehen:

Es gibt nämlich 4 Möglichkeiten diese Kombination zu ziehen:



Den Faktor 4 bekommt man mit dem Binomialkoeffizienten.



4 Kugeln, 3 davon weiß.

Bei 2 weißen Kugeln ist der Binomialkoeffizient


Grüße.
HenLe Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort! Freude
Nur eine Frage habe ich noch: Du beziehst dich ja sozusagen auf die weißen Kugeln, aber könnte man sich nicht auch auf rot beziehen? Das wäre ja dann 4 über 1, aber da würde doch was anderes rauskommen oder? verwirrt
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Es kommt dann zum Glück nichts anderes raus.

Es kommt darauf an, auf welche Farbe von Kugeln sein Augenmerk legt.
Wenn man 3 weiße Kugeln haben will, dann ergibt sich aber automatisch, dass man 1 rote Kugel zieht.
Es sind ja insgesamt 4 Kugeln (n=4).

p(weiß)=0,4

Dann ist k=3 (weiße Kugeln)



Wenn man jetzt 1 rote Kugel haben will, dann sieht die Rechnung so aus:



Es kommt in beiden Fällen das gleiche raus. Denn es gilt:



konkret:

HenLe Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, alles klar! smile
Kannst du mir auch erklären wie man diesen Binomialkoeffizienten herleitet? Oder ist das sehr kompliziert...? Weil ich weiß jetzt nicht wie man das erklären kann....
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche es einfach mal.

Man hat z.B. drei verschiedene Elemente:

Die Permutationen dieser drei Elemente sind:

Also insgesamt 6 Permutationen. Die Anzahl der Permutationen kann man berechnen mit der Fakultät (n!).

n=3



Man kann es sich so vorstellen: Man belegt drei leere Stellen mit den Buchstaben a, b und c.

Die erste Stelle kann man mit a, b oder c belegen. Faktor 3
Jetzt ist z.B. die erste mit a belegt, dann kann man die zweite leere Stelle nur noch mit b oder c belegt werden. Faktor 2
Die letzte Stelle kann dann nur noch mit einem Buchstaben belegt werden. Faktor 1

Wenn es jetzt aber bei den drei Elementen zwei gleiche Elemente gibt, dann halbiert sich die Anzahl der Permutationen.



Dies wird dann berücksichtigt, indem man n! durch die Fakultät der Anzahl gleicher Elemente teilt. Bei zwei verschiedenen Elementengruppen wird dann durch k! und (n-k)! geteilt.

Bei gehören die beiden b´s zur gleichen Gruppe. Somit k=2. Und damit k!=2!=1
Das Element a ist bildet eine Gruppe für sich. Somit (n-k)=(3-2)=1. Und damit 1!=1

Somit kann man jetzt formelmäßig die Anzahl der Permutationen bestimmen:




Per Definition ist
 
 
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