Banach'scher Fixpunktsatz - Seite 2

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L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nur das Blatt wo 1A - 2B drauf steht. Literatur haben wir Numerik vom Stoer. Aber da bin ich ganz ehrlich, das verstehe ich gar nicht. Nutze den Papula, ich brauch immer Beispiele und im Stoer wird ja nur "mathematisch gesprochen". Ohne Beispiele fällt mir es echt schwer. Bin eher jemand der ein Schema durchgeht und dann eine Lösung erhält. Die ganzen Herleitungen, Beweiße sind nicht so mein Fall. Nur beim Banach fehlen mir halt Beispielaufgaben und über Google Docs habe ich in paar Ebooks geschaut, doch da finde ich wie gesagt das Schema 1-A - 2B nicht wieder.

Wie gesagt, bei dieser Aufgabe steht nur "beweisen das damit die Wurzel aus 5 ausgerechnet wird" ... das verstehe ich auch so, dass ich erst ein Intervall finden muss und dann Schema 1A - 2B durchführe.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ach herrje... Dann lies dir mal im Buch deiner Wahl die Formulierung des Banachschen Fixpunktsatzes an und versuche die zu verstehen und wieso euer Schema dem entspricht.
Den Beweis des Fixpunktsatzes musst du dir nicht unbedingt ansehen; hier wäre die Idee aber ganz interessant, da der Beweis sehr konstruktiv ist und die Iteration erklärt.
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

angenommen die Aufgabe ist so richtig , wäre dann mein Intervall richtig?!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das Intervall muss abgeschlossen sein und auf ihm muss die gegebene Funktion eine Selbstabbildung und eine Kontraktion sein.
Sieh dir mal den Plot an und sag selbst, ob das mit der Selbstabbildung plausibel klingt:


Wenn ja, dann ist alles gut: Eine Kontraktion ist die Funktion auf dem Intervall auch.
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe als Definition aus dem Internet:

Selbstabbildung; Eine Abbildung, die eine Menge in sich selbst abbildet und von dir weiß ich, eine Abbildung kann eine Kontraktion sein.

Zudem habe ich den Begriff "Fixpunkt" so verstanden, dass wenn ich in der Funktion einen Punkt eingebe und das Ergebnis wiederum identisch mit dem Punkt, dann redet man vom Fixpunkt.. z.B bei f(x) = x² setzt 0 oder 1 ein und es kommt dasselbe wieder raus. Wenn ich jetzt den Graphen anschaue dann müssten die Punkte auf der X-Achse ja die Punkte auf der Y-Achse zugeordnet sein. also 2.11 (x) muss 2.11 (y) --- naja ist nicht wirklich der Fall aber kommt dicht dran also leichte Abweichungen, wenn man diese toleriert und sagt, dass es sich hierbei ja eh um eine Nährung handelt, dann würde ich sagen, dass die Abbildung funktioniert.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von L.A.
und von dir weiß ich, eine Abbildung kann eine Kontraktion sein.

Das solltest du auch so wissen.
Nur mal zur Sicherheit: Benutzt ihr auch die Begriffe "Selbstabbildung" und "Kontraktion"?

Zitat:
Zudem habe ich den Begriff "Fixpunkt" so verstanden, dass wenn ich in der Funktion einen Punkt eingebe und das Ergebnis wiederum identisch mit dem Punkt, dann redet man vom Fixpunkt.. z.B bei f(x) = x² setzt 0 oder 1 ein und es kommt dasselbe wieder raus.

Soweit alles richtig.
Fixpunkte erkennt man im Graphen an Schnittpunkten mit der durch beschriebenen Geraden.
Am Beispiel:


Zitat:
also 2.11 (x) muss 2.11 (y)

Nicht die Endpunkte des Intervalls müssen Fixpunkte sein. Die Aussage des Satzes ist ja, dass es irgendwo im Intervall (genau) einen Fixpunkt gibt.

Zitat:
--- naja ist nicht wirklich der Fall aber kommt dicht dran also leichte Abweichungen, wenn man diese toleriert und sagt, dass es sich hierbei ja eh um eine Nährung handelt, dann würde ich sagen, dass die Abbildung funktioniert.

Unsinn. Entweder gilt eine Gleichung oder sie gilt nicht. Solange nicht nur eine Annäherung gefragt ist, genügt eine Annäherung auch nicht.
Du sagst ja auch nicht, dass eine Lösung von ist, nur weil die Gleichung dann "ungefähr" stimmt.
Und wie schon gesagt: Eine Abbildung kann nicht "funktionieren", diese Formulierung ist unsinnig. Man kann aber davon reden, dass eine Abbildung bestimmte Voraussetzungen erfüllt.
 
 
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

wie kriege ich es denn jetzt rechnerisch hin, den fixpunkt zu finden?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Indem du die Gleichung (die Fixpunktgleichung) löst. Ein aus dem Definitionsbereich von ist (definitionsgemäß) genau dann ein Fixpunkt von , wenn diese Gleichung gilt.

Tatsächlich wirst du auf diese Weise zwei mögliche Fixpunkte erhalten [welche?].
Durch die Wahl eines geeigneten Intervalls als Definitionsbereich von wird dieser eindeutig. Das wiederum sollt ihr anscheinend mithilfe des Banachschen Fixpunktsatzes zeigen.
Bisher wäre die Anwendung dieses Satzes völliger Blödsinn; den braucht man hierzu nicht.
Allerdings möchte man nun nicht einfach nur wissen, dass die Wurzel aus Fünf ein Fixpunkt von ist – mit ziemlicher Sicherheit wurde die Funktion so gewählt, dass dies gerade ein Fixpunkt ist. Der Sinn, diese Funktion aufzustellen, ist der, dass man auch irgendwie berechnen bzw. annähern möchte: Man möchte einen konkreten Wert (eine Annäherung) für diese Wurzel, mit der ein Computer umgehen kann.
Daher hat man sich eine Funktion überlegt, deren Fixpunkt gerade ist (nach diesem Schritt des Vorgehens wurde euch die Funktion vorgesetzt).
Dies geschah deswegen, weil man weiß, dass der Banachsche Fixpunktsatz nicht nur die Existenz und Eindeutigkeit eines Fixpunkts liefert, sondern auch verrät, wie man eine Folge findet, die gegen diesen Fixpunkt konvergiert. Diesen Teil des Satzes will man dann benutzen, um sich dem Fixpunkt anzunähern.
Und so gelangt man numerisch zum Fixpunkt.
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer

Dies geschah deswegen, weil man weiß, dass der Banachsche Fixpunktsatz nicht nur die Existenz und Eindeutigkeit eines Fixpunkts liefert, sondern auch verrät, wie man eine Folge findet, die gegen diesen Fixpunkt konvergiert. Diesen Teil des Satzes will man dann benutzen, um sich dem Fixpunkt anzunähern.
Und so gelangt man numerisch zum Fixpunkt.


Und das mache ich wenn ich mein Schema 1A - 2B durchgehe, oder wie?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Mit deinem Schema überprüfst du nur die Aussagen des Banachschen Fixpunktsatzes.
Wenn eine Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall diesen Bedingungen entspricht, dann besitzt sie nach dem Banachschen Fixpunktsatz genau einen Fixpunkt (auf diesem Intervall) und man kann diesen als Grenzwert einer relativ gut zu konstruierenden Folge erhalten.
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

also nochmal in eigenen Worten, ich überprüfe nur, ob es genau einen Fixpunkt gibt, wenn ich mein Schema durchgehe, aber wo der liegt im Intervall bekomme ich gar nicht raus?!

Und wenn die Werte (die ich rausbekomme bei 1A-2B) bei der Selbstabbildung oder bei der Kontraktion nicht im Intervall liegen, dann gibts kein Fixpunkt?

Wenn die Werte der Selbstabbildung im Intervall liegen, aber nicht bei der Kontraktion (oder umgekehrt), gibt es dann trotzdem ein Fixpunkt?

Diese "und man kann diesen als Grenzwert einer relativ gut zu konstruierenden Folge erhalten." Könntest du mir erklären, wie ich das bei dieser Funktion hinbekomme?!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von L.A.
also nochmal in eigenen Worten, ich überprüfe nur, ob es genau einen Fixpunkt gibt, wenn ich mein Schema durchgehe, aber wo der liegt im Intervall bekomme ich gar nicht raus?!

Ja, genau.

Zitat:
Und wenn die Werte (die ich rausbekomme bei 1A-2B) bei der Selbstabbildung oder bei der Kontraktion nicht im Intervall liegen, dann gibts kein Fixpunkt?

Du bekommst keine "Werte bei der Selbstabbildung" heraus.
Du überprüfst nur anhand einiger Werte (Extremwerte und Werte am Rand), ob die vorliegende Funktion eine Selbstabbildung ist.
Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion auf einem kompakten Intervall, also einem Intervall der Form , nimmt nämlich ihre globalen Extrema an: Entweder in einem lokalen Extremum im Innern des Intervalls oder auf einem Intervallrand. Wenn all diese Werte in liegen, dann heißt das also, dass Maximum und Minimum der Funktionswerte darin liegen. Da ein Intervall ist, tun dies auch alle anderen Funkionswerte: Jeder Wert, den die betrachtete Funktion auf annimmt, liegt wieder in , womit die Funktion per Definition eine Selbstabbildung ist.
Ähnlich überprüft man, ob die Ableitung stets in liegt. Da die Ableitung stetig sein soll, nimmt sie dann nämlich auch Maximum und Minimum an, welche beide in liegen müssen. Mit anderen Worten: Es gibt ein , so dass für alle (ach ja, ich habe die Funktion mal genannt).
Nach dem Mittelwertsatz ist dann auch für alle , denn der Quotient ist für ein .
Damit ist auch definitionsgemäß eine Kontraktion.

Nun lässt sich der allgemeine Banachsche Fixpunktsatz anwenden, dessen Formulierung du hoffentlich schon nachgelesen hast.

Zitat:
Wenn die Werte der Selbstabbildung im Intervall liegen, aber nicht bei der Kontraktion (oder umgekehrt), gibt es dann trotzdem ein Fixpunkt?

Falls eine Funktion nicht den Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes entspricht, heißt das noch nicht, dass sie keine Fixpunkte haben kann. Einfachstes Gegenbeispiel ist die Identität.

Zitat:
Diese "und man kann diesen als Grenzwert einer relativ gut zu konstruierenden Folge erhalten." Könntest du mir erklären, wie ich das bei dieser Funktion hinbekomme?!

Sieh mal in den Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes (nur hineinsehen, nicht gänzlich verstehen). Da wirst du sicher eine Folge finden, die gegen den Fixpunkt konvergieren soll. Wie wird die gebildet?
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Da wirst du sicher eine Folge finden, die gegen den Fixpunkt konvergieren soll. Wie wird die gebildet?


ich hoffe, du meinst Cauchy Folge.



Die kenne ich gar nicht. Ich habe noch was gefunden. Auf dem Blatt wird unten, immer wieder ein Wert ausgerechnet und wieder eingsetzt und so ... kannst du damit was anfangen??

http://s7.directupload.net/images/130915/2o7qk538.jpg

Ist das die Fixpunkt Annährung?!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von L.A.
ich hoffe, du meinst Cauchy Folge.

In den reellen Zahlen gibt es keinen Unterschied zwischen Cauchy-Folgen und konvergenten Folgen.

Zitat:

Wieso schreibst du plötzlich diese Gleichung auf? Was hat die zu bedeuten? (der Grenzwert auf der linken Seite existiert übrigens nicht)

Zitat:
Die kenne ich gar nicht.

Die Folge, die man konstruiert? Deswegen solltest du ja auch in den Beweis sehen. Dort findest du sicher etwas wie "".

Zitat:
Ich habe noch was gefunden. Auf dem Blatt wird unten, immer wieder ein Wert ausgerechnet und wieder eingsetzt und so ... kannst du damit was anfangen??

Größtenteils ist völlig unklar, was dort getan wird. Teilweise sogar dann, wenn man euer Schema kennt. Was soll z.B. diese Tabelle bedeuten?
Aber ja, was am Ende getan wird, ist die Fixpunktiteration. Du solltest aber nachvollziehen können, wie genau die aussieht. Was wird denn nämlich getan?
L.A. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer

Die Folge, die man konstruiert? Deswegen solltest du ja auch in den Beweis sehen. Dort findest du sicher etwas wie "".


Meinst du die "Fehlerberechnung":
http://s1.directupload.net/images/130916/juola6dl.jpg

Was anderes finde ich nicht. Schaue mir an:
http://books.google.de/books?id=pYGlrzHZ...hematik&f=false

Da finde ich auch nichts mit ""


Zitat:
Original von Che Netzer
Aber ja, was am Ende getan wird, ist die Fixpunktiteration. Du solltest aber nachvollziehen können, wie genau die aussieht. Was wird denn nämlich getan?


Auf dem neuen Blatt, ist es ja erklärt, man setzt erst xo ein, erhält x1, setzt dann x1 ein erhält x2.... ist xo gegeben oder woher kommt es?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von L.A.
Was anderes finde ich nicht. Schaue mir an:
http://books.google.de/books?id=pYGlrzHZ...hematik&f=false

Da finde ich auch nichts mit ""

Ich schon. Ich bin zum Kapitel "Banachscher Fixpunktsatz in R" gesprungen, habe auf Seite 30 die Aussage des Satzes entdeckt und direkt darunter ist der Beweis, in den du sehen solltest. Und schon in der zweiten Zeile steht "".

Geh den Beweis mal durch. Wieso die besagte Folge eine Cauchy-Folge ist, musst du aber nicht unbedint nachvollziehen.

Versuch anschließend, die folgenden Fragen in eigenen Worten und ohne nachzuschlagen zu beantworten:

1. Es wird eine Folge gebildet. Wie geschieht dies?
2. Nachdem man gezeigt hat, dass diese Folge gegen ein konvergiert, d.h. , möchte man nachweisen, dass , d.h. dass . Wie kannst du die Definition von über einen Grenzwert und die Kontraktionseigenschaft von ?
Alternativ kannst du auch benutzen, dass stetig ist. Wie kannst du dann direkt mittels der Definition von zeigen?
3. Letztlich will man noch die Eindeutigkeit des Fixpunkts zeigen. Angenommen, es gäbe einen weiteren Fixpunkt . Kannst du zeigen?

Zitat:
Auf dem neuen Blatt, ist es ja erklärt, man setzt erst xo ein, erhält x1, setzt dann x1 ein erhält x2.... ist xo gegeben oder woher kommt es?

Und zwar setzt man diese Werte in die betrachtete Funktion ein. Woher das kommt, kannst du dem Beweis entnehmen (das gehört zu obigem Punkt 1).
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