Tangens 'umwandeln'

13.09.2013, 11:56

Vazrael

Tangens 'umwandeln'

Hallo,

wie berechne ich $\begin{eqnarray*} tan (\alpha) \end{eqnarray*}$ im folgenden Fall:

$\begin{eqnarray*} tan (0.5\alpha) = 0.5 \end{eqnarray*}$

Im Skript gibt es eine Formel dafür, allerdings komme ich da selbst nicht drauf. verwirrt

13.09.2013, 11:58

10001000Nick1

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Da brauchst du die Umkehrfunktion des Tangens: $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$

Edit: Hast du dich verschrieben? Willst du wirklich $\begin{eqnarray*} \tan(\alpha) \end{eqnarray*}$ berechnen, oder einfach $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ?

Edit2: Achso, ich glaube, ich weiß jetzt, was du meinst: $\begin{eqnarray*} \tan(2\alpha)=\frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)} \end{eqnarray*}$ . Meinst du sowas?

13.09.2013, 12:10

Vazrael

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Da brauchst du die Umkehrfunktion des Tangens: $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$

Edit: Hast du dich verschrieben? Willst du wirklich $\begin{eqnarray*} \tan(\alpha) \end{eqnarray*}$ berechnen, oder einfach $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ?

Edit2: Achso, ich glaube, ich weiß jetzt, was du meinst: $\begin{eqnarray*} \tan(2\alpha)=\frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)} \end{eqnarray*}$ . Meinst du sowas?

Ja genau, das meinte ich! (Edit2) smile

13.09.2013, 12:11

10001000Nick1

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Aber auch, wenn du die Formel nicht kennst, könntest du ja mit Hilfe des $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ den Winkel berechnen, und dann den Tangens davon. Ist zwar nicht so eine schöne Lösung, aber man kommt trotzdem zum Ziel. Augenzwinkern

13.09.2013, 12:38

Vazrael

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Ja, das stimmt! Danke!

Noch eine abschließende Frage:

Was ist der Unterschied zwischen

$\begin{eqnarray*} arc sin (-\frac{1}{2}*\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$

und der Lösung der Gleichung

$\begin{eqnarray*} sin x = -\frac{1}{2}*\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ??

13.09.2013, 13:53

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} \arcsin(x) \end{eqnarray*}$ ist nur für $\begin{eqnarray*} x\in[-1,1] \end{eqnarray*}$ definiert, der Wertebereich dieser Funktion ist $\begin{eqnarray*} \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ .
D.h. das Ergebnis ist immer im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ .
Daher ist $\begin{eqnarray*} \arcsin\left(-\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)=-\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ .

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sin(x)=-\frac{1}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ hat aufgrund der Periodizität des Sinus unendlich viele Lösungen.
Eine davon ist natürlich, wie oben, $\begin{eqnarray*} x=-\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ .
Aber wegen $\begin{eqnarray*} \sin(x)=\sin(x+2k\pi), k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gibt es auch noch die Lösungen $\begin{eqnarray*} ...,-\frac{17}{4}\pi,-\frac{9}{4}\pi,\frac{7}{4}\pi,\frac{15}{4}\pi,... \end{eqnarray*}$
Die Lösungsmenge dieser Gleichung lautet also $\begin{eqnarray*} \left\{-\frac{\pi}{4}+2k\pi\bigg{|}k\in\mathbb{Z}\right\} \end{eqnarray*}$ .

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