Probleme mit Differentialgleichung (wenn Beta = Lösung von ch.Gl)

13.09.2013, 18:19

Mario1234

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Probleme mit Differentialgleichung (wenn Beta = Lösung von ch.Gl)

Hallo,

ich habe ein Problem mit der Aufgabe auf dem Photo... ich denke ich habe mich da bei den Ableitungen vertan oder hab was Grundsätzliches nicht begriffen.

Ich verstehe nicht wie Maple auf die Lösung kommt ich komme für A auf -3/8 und für B auf 0... kann mir einer mal bitte nen Schubs geben? [attach]31456[/attach]

Vielen Dank

13.09.2013, 18:36

Che Netzer

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RE: Probleme mit Differentialgleichung (wenn Beta = Lösung von ch.Gl)
Was hast du denn in Maple eingegeben? Was dort steht, ist offenbar eine Lösung der homogenen Gleichung.

13.09.2013, 19:03

Mario1234

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y(x) = sin(4*x)*_C2+cos(4*x)*_C1-(3/32)*cos(4*x)-(3/8)*sin(4*x)*x

13.09.2013, 19:11

Che Netzer

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Ach, dann ist im Bild also ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ verschwunden?
Und was ist jetzt dein Problem? Das stimmt doch mit deiner Lösung überein.

14.09.2013, 16:56

Mario1234

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Nein,

ich habe es jetzt grade noch einmal durchgerechnet, ich komme immer auf das gleiche Ergebnis! Die x behafteten Teile Lösen sich beim einsetzen auf und ich bekomme für A= -(3/8) raus und für B =0.

Maple sagt A=-(3/8)x und B =(-2/32)

Also ... ich verstehe das einfach nicht!

$\begin{eqnarray*} f(x) = x*(A*sin(4*x)+B*cos(4*x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=A*sin(4*x)+B*cos(4*x)+x*(4*A*cos(4*x)-4*B*sin(4*x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=8*A*cos(4*x)-8*B*sin(4*x)+x*(-16*A*sin(4*x)-16*B*cos(4*x)) \end{eqnarray*}$

das sind meine Ableitungen

der partikuläre Teil ist $\begin{eqnarray*} y''+16y \end{eqnarray*}$

Wenn ich Stammfunktion und zweite Ableitung einsetze lösen sich doch die x-behafteten Teile auf.... und selbst wenn sie das nicht tun würden, wüsste ich nicht wie ich sie verarbeiten soll denn ich habe ja gar keine Funktion mit der ich das verrechnen könnte.... verwirrt

verwirrt

14.09.2013, 17:06

Che Netzer

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Zitat:

Original von Mario1234
Nein,

Doch!

smile

Deine allgemeine Lösung ist
$\begin{eqnarray*} c_1\sin(4x)+c_2\cos(4x)+Ax\sin(4x)+Bx\cos(4x)=c_1\sin(4x)+c_2\cos(4x)-\frac38x\sin(4x)\,, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} c_1,c_2\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Die allgemeine Lösung von Maple ist
$\begin{eqnarray*} \tilde c_1\sin(4x)+\tilde c_2\cos(4x)-\frac38x\sin(4x)-\frac3{32}\cos(4x)=\tilde c_1\sin(4x)+\left(\tilde c_2-\frac3{32}\right)\cos(4x)-\frac38x\sin(4x)\,, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \tilde c_1,\tilde c_2\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Beide Lösungen stimmen überein.

Maple sagt nicht $\begin{eqnarray*} A=-\frac38x \end{eqnarray*}$ ; immerhin sollte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als Konstante ja nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängen.

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14.09.2013, 17:10

Mario1234

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Schau mal... was da unten auf dem Blatt steht ist auch von Maple.... davor steht ja extra dass das die Maplelösung ist und net meine, ich habe das nur nochmal gepostet weil Du fragtest!

14.09.2013, 17:18

Che Netzer

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Insgesamt habe ich jetzt drei angebliche Maple-Lösungen von dir:
Auf dem Blatt steht
$\begin{eqnarray*} \frac3{32}\cos(4x)+\frac38\sin(4x)\,. \end{eqnarray*}$
Danach hast du
$\begin{eqnarray*} sin(4x)C_2+cos(4x)C_1-\frac3{32}cos(4x)-\frac38sin(4x) \end{eqnarray*}$
geschrieben. Dann hast du noch irgendetwas von wegen $\begin{eqnarray*} -\frac2{32} \end{eqnarray*}$ erzählt.
Ich gehe jetzt davon aus, dass die zweite Form die ist, die dir ausgegeben wurde und du auf dem Blatt ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ vergessen und $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ geschrieben hast.
Und wenn dir Maple

Zitat:

y(x) = sin(4*x)*_C2+cos(4*x)*_C1-(3/32)*cos(4*x)-(3/8)*sin(4*x)*x

anzeigt, dann entspricht das genau deiner Lösung, wie ich dir im letzten Beitrag vorgerechnet habe.

Falls jetzt noch irgendetwas unklar ist, solltest du als erstes klarstellen, was genau du als Lösung von Maple angezeigt bekommen hast.

14.09.2013, 17:47

Mario1234

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Ja Du hast recht ich hab sehr viel Verwirrung hier reingebracht.... bin auch sehr verwirrt ich versuche mal meine Frage so strukturiert wie möglich zu stellen:

Also zuerst: das ist die Lösung (die richtige ;-)) aus Maple kopiert:

$\begin{eqnarray*} y(x) = sin(4*x)*_C2+cos(4*x)*_C1-(3/32)*cos(4*x)-(3/8)*sin(4*x)*x \end{eqnarray*}$

Das habe ich mir zusammen gerechnet:

[attach]31463[/attach]

Jetzt sagst Du beide Lösungen wären gleich, was ich leider nicht verstehe, es wäre nett wenn Du mir dass noch einmal für Blöde erklärst.

Was ich ebenfalls nicht verstehe ist, dass Maple y(x)= [...] schreibt... also dass Maple alles auf eine Seite holt und die Vorzeichnen dabei gleich bleiben..

auch unklar ist mir warum auf beiden Seiten der allgemeinen Lösung $\begin{eqnarray*} c1*sin(4x)+c2*cos(x) \end{eqnarray*}$ steht.

Ok ich hoffe Du kannst mein Unverständnis verstehen :-)

14.09.2013, 18:08

Che Netzer

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Was soll denn die doppelt unterstrichene Zeile? Woher kommt diese Gleichheit?

Hier auch nochmal: Eigentlich sollte man einen Text schreiben und darin die mathematischen Symbole nur als Hilfsmittel benutzen. Dann würden solche unverständlichen Schritte gar nicht passieren.

Naja, nur um weitere Missverständnisse zu vermeiden: Wie würde denn deine (also die von dir errechnete) allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung aussehen?

14.09.2013, 19:20

Mario1234

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$\begin{eqnarray*} Y(x)=C1*cos(4x)+c2*sin(4x)-3/8*sin(4x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)=Yp+Yh \end{eqnarray*}$

14.09.2013, 19:23

Che Netzer

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Fehlt denn da kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Im Ansatz für die partikuläre Lösung hast du das noch aufgeschrieben.

14.09.2013, 20:15

Mario1234

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Ja... ich sagte ja schon dass sich bei mir die x-behafteten Teile auflösen wenn ich diese nach dem Ableiten in die homogene Gleichung eingebe.... eines der Dinge die ich nicht verstehe!

14.09.2013, 20:44

Che Netzer

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Beim Einsetzen lösen sie sich zwar auf, aber du setzt nur ein, um die Konstanten $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ (mithilfe eines linearen Gleichungssystems nach Koeffizientenvergleich) zu bestimmen, die du für deinen Lösungsansatz $\begin{eqnarray*} Ax\sin(4x)+Bx\cos(4x) \end{eqnarray*}$ brauchst. Die beiden Konstanten willst du ja so bestimmen, dass ebendieser Term die inhomogene DGL löst.

14.09.2013, 21:26

Mario1234

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Oh man .... so dumm kann doch ein einzelner Mensch gar net sein.... ist ja schon peinlich.

Ok ich fasse mal zusammen da mein partikulärer Lösungsansatz mit x behaftet ist, ist er es logischerweise beim späteren Einsetzen immer noch .... oh man... ja diesbezüglich schon einmal herzlichen Dank.

Allerdings, auch wenn ich mich nach der Antwort wahrscheinlich wieder schämen muss:

Dass Maple mir bei

$\begin{eqnarray*} y(x) = sin(4*x)*_C2+cos(4*x)*_C1-(3/32)*cos(4*x)-(3/8)*sin(4*x)*x \end{eqnarray*}$

diesen Term $\begin{eqnarray*} -(3/32)*cos(4*x) \end{eqnarray*}$ noch reinsetzt verstehe ich immer noch nicht!

14.09.2013, 21:33

Che Netzer

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Zitat:

Original von Mario1234
Dass Maple mir bei

$\begin{eqnarray*} y(x) = sin(4*x)*_C2+cos(4*x)*_C1-(3/32)*cos(4*x)-(3/8)*sin(4*x)*x \end{eqnarray*}$

diesen Term $\begin{eqnarray*} -(3/32)*cos(4*x) \end{eqnarray*}$ noch reinsetzt verstehe ich immer noch nicht!

Das hatte ich dir hier vorgerechnet Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dieser zusätzliche Term ist ja nichts weiter als eine homogene Lösung; den Faktor $\begin{eqnarray*} -\frac3{32} \end{eqnarray*}$ kannst du mit $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ zu einer neuen Konstante verrechnen.

14.09.2013, 22:16

Mario1234

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Ok mal anders gefragt, wie würde ich denn auf den Wert kommen wenn ich Maple nicht hätte?

14.09.2013, 22:18

Che Netzer

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[attach]24103[/attach]
Du könntest jeden beliebigen Faktor statt $\begin{eqnarray*} -\frac3{33} \end{eqnarray*}$ wählen, indem du ihn aus der entsprechenden Konstante ziehst. Wie Maple gerechnet hat, weiß ich nicht.
(Edit: Vielleicht mit einer Variation der Konstanten?)

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