Chancen berechnen

13.09.2013, 23:23

madox

Chancen berechnen

Meine Frage:
Wie ist die Wahrscheinlichkeit wenn ich:
1) Eine Münze wird 20 mal hintereinander in die Luft geworfen. Vor jedem Wurf wählt jemand Kopf oder Zahl. Wie gross ist die Chance drei mal hintereinander die richtige Oberfläche zu erraten?
2) Es werden 100 mal 8 Jasskarten zufällig gelegt. Jemand muss immer eine markierte (zufällig geheim ausgewählte) Karte erraten. Wie gross ist die Chance bei 100 Versuchen zwei mal hintereinander die richtige zu wählen?
3) Wie viel höher ist die Wahrscheinlichkeit im Vergleich?

Es ist wirklich wichtig und wir haben um viel Geld gewettet.

Meine Ideen:
1) Bei jedem einzelnen Wurf ist die Chance 1/2. Man ist also durchschnittlich 10 mal richtig und hat durchschnittlich 50% Chance beim darauffolgenden Wurf auch das richtige zu erraten. Weiter wird es kompliziert.
2) Bei jedem wählen ist die Chance 1/8. Das heisst man wird bei 100 Versuchen 12.5 mal das richtige erraten. Bei jedem von diesen 12.5 mal ist die Chance 1/8.

14.09.2013, 11:04

Huggy

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RE: Chancen berechnen
Man gebe einer Runde eine 1, wenn richtig geraten wurde und eine 0, wenn falsch geraten wurde. Jetzt betrachte man die Runden als Markovkette.

Bei 1) sei $\begin{eqnarray*} P_n(x,y) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, dass man nach n Runden in den letzten beiden Runden das Ergebnis (x,y) hatte mit x = 0 oder 1 und y = 0 oder 1 und bis dahin noch nicht gewonnen hatte. $\begin{eqnarray*} P_n(G) \end{eqnarray*}$ sei die Wahrscheinlichkeit, dass man bis einschließlich Runde n gewonnen hat. Man hat dann

$\begin{eqnarray*} P_2(G)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_2(1,1)=P_2(1,0)=P_2(0,1)=P_2(0,0)=\frac {1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_{n+1}(G)=P_n(G)+\frac {1}{2}P_n(1,1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_{n+1}(1,1)=\frac {1}{2}P_n(0,1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_{n+1}(1,0)=\frac {1}{2}P_n(1,1)+\frac {1}{2}P_n(0,1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_{n+1}(0,1)=\frac {1}{2}P_n(1,0)+\frac {1}{2}P_n(0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_{n+1}(0,0)=\frac {1}{2}P_n(1,0)+\frac {1}{2}P_n(0,0) \end{eqnarray*}$

Wenn man die Wahrscheinlichkeiten zu einem Vektor $\begin{eqnarray*} \vec P \end{eqnarray*}$ zusammenfasst, kann man diese Gleichungen schreiben als

$\begin{eqnarray*} \vec P_{n+1}=M\vec P_n \end{eqnarray*}$

mit einer Übergangsmatrix M. Der Vector $\begin{eqnarray*} \vec P \end{eqnarray*}$ nach n Runden ergibt sich zu

$\begin{eqnarray*} \vec P_n=M^{n-2}\vec P_2 \end{eqnarray*}$

Wenn dein Rechner Matrixmultiplikation kann, lässt sich $\begin{eqnarray*} \vec P_n \end{eqnarray*}$ so mühelos berechnen. 2) kann analog behandelt werden. Der Vektor P hat dann nur 3 Komponenten und die Übergangsmatrix M ist dann eine 3x3 Matrix.

14.09.2013, 11:43

madox

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Hallo Huggy,

wow, wir haben nicht gedacht dass es so kompliziert wird. Wir sind bereits seit mehr als 10 Jahren aus der Schule raus und uns sind diese Formeln "leicht" über unserem Niveau.

Wir hätten gerne die Chance in Prozent für das Eintreffen eines solchen Szenarios. Also z.B. Die Chance bei 20 Münzenwürfen drei mal hintereinander das richtige zu erraten liegt bei XY Prozent.

Vielen Dank schon mal.

14.09.2013, 11:58

Huggy

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Mein Rechner meint:

$\begin{eqnarray*} 1) \quad P_{20}(G) \approx 78.7028 % \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2) \quad P_{100}(G) \approx 75.4318 % \end{eqnarray*}$

14.09.2013, 12:12

madox

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Kann fast nicht sein...
Wir haben das mit der Münze 5 mal ausprobiert uns es hat nur 1 mal geklappt. Von dem her glauben wir nicht, dass die Chance 78% ist drei mal hintereinander das richtige zu erraten.

14.09.2013, 13:36

Huggy

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RE: Kann fast nicht sein...
5 ist für eine Simulation ein sehr kleiner Wert. Da kann das Simulationsergebnis schon mal deutlich neben dem Erwartungswert liegen.

Ihr solltet zunächst mal prüfen, ob ihr mit meinen obigen 5 Gleichungen zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} P_{n+1} \end{eqnarray*}$ einverstanden seid. Dazu braucht man keine Mathematik. Es reicht normaler, gesunder Menschenverstand. Falls ja, könnt ihr mit Handrechnungen prüfen, ob ihr ausgehend von $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ meine Ergebnisse für $\begin{eqnarray*} P_3, P_4, P_5, P_6 \end{eqnarray*}$ nachvollziehen könnt. Falls ja, dürfte wenig Zweifel bestehen, dass auch $\begin{eqnarray*} P_{20} \end{eqnarray*}$ stimmt. In der folgenden Tabelle findet ihr meine Ergebnisse von $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} P_{20} \end{eqnarray*}$ . In den Spalten steht von links nach rechts $\begin{eqnarray*} P(G), P(1,1), P(1,0),P(0,1), P(0,0) \end{eqnarray*}$ .

code:

1:
2:
3:
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5:
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7:
8:
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10:
11:
12:
13:
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15:
16:
17:
18:
19:

 {0., 0.25, 0.25, 0.25, 0.25},
 {0.125, 0.125, 0.25, 0.25, 0.25},
 {0.1875, 0.125, 0.1875, 0.25, 0.25},
 {0.25, 0.125, 0.1875, 0.21875, 0.21875},
 {0.3125, 0.109375, 0.171875, 0.203125, 0.203125},
 {0.367188, 0.101563, 0.15625, 0.1875, 0.1875},
 {0.417969, 0.09375, 0.144531, 0.171875, 0.171875},
 {0.464844, 0.0859375, 0.132813, 0.158203, 0.158203},
 {0.507813, 0.0791016, 0.12207, 0.145508, 0.145508},
 {0.547363, 0.0727539, 0.112305, 0.133789, 0.133789},
 {0.58374, 0.0668945, 0.103271, 0.123047, 0.123047},
 {0.617188, 0.0615234, 0.0949707, 0.113159, 0.113159},
 {0.647949, 0.0565796, 0.0873413, 0.104065, 0.104065},
 {0.676239, 0.0520325, 0.0803223, 0.0957031, 0.0957031},
 {0.702255, 0.0478516, 0.0738678, 0.0880127, 0.0880127},
 {0.726181, 0.0440063, 0.0679321, 0.0809402, 0.0809402},
 {0.748184, 0.0404701, 0.0624733, 0.0744362, 0.0744362},
 {0.768419, 0.0372181, 0.0574532, 0.0684547, 0.0684547},
 {0.787028, 0.0342274, 0.0528364, 0.0629539, 0.0629539}

14.09.2013, 14:28

Dweezil

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Endlich sehe ich mal eine praktische Anwendung der Markow-Ketten! Danke für die ausführliche Durchrechnung! Freude

Allerdings ist das Ergebniss von lediglich 1x schon etwas überraschend. Kennt man die Wahrscheinlichkeit von 78.7028%, ergibt sich aus einer Binomalverteilung das nur 0 oder 1 Erfolge bei 5 Versuchen auftreten nur zu 0.0085, also mit ca. 1%iger Wahrscheinlichkeit. Vielleicht muss da die Münze oder Wurftechnik hinterfragt werden. Augenzwinkern

Eine Simulation des Spiels ergibt: von 10000 Versuchen (=10000 Starts einer Reihe von max. 20 Würfen oder bis man eben 3x hintereinander richtig rät), wurde 7867 Mal 3x hintereinander die richtige "Seite" einer Zufallszahl 0 oder 1 richtig vorhergesagt. Scheint also ziemlich perfekt zu stimmen. Augenzwinkern

14.09.2013, 17:18

Huggy

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@Dweezil
Schön, dass du das mit einer vernünftigen Zahl von Simulationen geprüft hast.

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